§ 44. Сепаратрисы, при отыскании которых встречается неприводимый случай

Чтобы определить такие сепаратрисы, рассмотрим все случаи, где они встречаются. Пусть С — характеристика, в процессе изоляции которой имеет место случай неприводимости.

Существует целое положительное число и полином степени не выше равный нулю при такие, что заменой переменного

исходное уравнение преобразуется в уравнение сепаратриса С переходит в характеристику проходящую через точку и для точек этой характеристики отношение каково бы ни было целое положительное число стремится к нулю при стремящемся к нулю. Может случиться, что тогда

Покажем вначале, что для случая неприводимости необходимо, чтобы уравнение имело решение Допустим, что такого решения нет. Тогда уравнение запишется в виде

где а — постоянная, отличная от нуля, целое положительное число, ряды по целым степеням

Положим тогда, поделив на получим уравнение

где ряды по Это уравнение не имеет решения, для которого и стремится к нулю при стремящемся к нулю, вопреки требованию неприводимости. Полученное противоречие доказывает утверждение, что уравнение имеет решение

Предположим, что уравнение имеет решение и допустим также, что при отыскании сепаратрисы, примыкающей к особой точке встретился случай неприводимости. Согласно § 41 существует целое положительное число такое, что заменой переменного

уравнение приводится к простой форме, если достаточно велико. Сепаратрисе уравнения соответствует сепаратриса, примыкающая к особой точке и она касается в этой точке прямой поскольку не имеет места нормальный случай.

Следует иметь в виду, что есть два различных вида уравнений простой формы. В одном случае существует только одна характеристика, проходящая через точку и касающаяся в ней оси в другом случае таких характеристик бесконечно много. Если имеет место первый случай, то эта характеристика будет она соответствует решению уравнения Если выполняется второй случай, то очевидно, что с каждой стороны характеристики отличной от существует бесконечно много характеристик, сколь угодно близких к и оканчивающихся в точке Ни одна из этих характеристик не может соответствовать сепаратрисе Следовательно, сепаратрисе

Г уравнения в переменных не может соответствовать никакая характеристика, отличная от Характеристика переходит в характеристику С, уравнения в переменных х и у только при условии, что у него есть решение Действительно, из (126) следует, что если то Из (125) при заключаем, что если то Но для характеристики С это невозможно. Итак, приходим к следующему результату. Неприводимый случай при изоляции сепаратрисы уравнения (108) может встретиться только тогда, когда эта сепаратриса есть ось

Следовательно, если случай неприводимости встретится при исследовании двух сепаратрис, ограничивающих область отталкивания особой точки О, то одна из них будет другая касается прямой, отличной от оси Такие сепаратрисы всегда разделены. Ясно, что при отыскании сепаратрис можно простым поворотом координатных осей избавиться от случая непроводимости.