§ 8. Лемма 1

Дифференциальное уравнение

где произвольные положительные постоянные; 5 — целое; и функции регулярные в окрестности точки разлагающиеся в ряды с положительными коэффициентами, сходящиеся при имеет решение, представимое в виде ряда

с положительными коэффициентами, сходящегося при если

Рассмотрим уравнение без правой части; получим

представляется в виде степенного ряда, сходящегося в силу предположений относительно при Следовательно, общее решение уравнения (11) запишется в форме

где подынтегральное выражение имеет вид

проинтегрировав его, получим

В силу предположений леммы ни один из знаменателей коэффициентов этого ряда не может быть равен нулю, и ряд сходится при Положив в общем решении уравнения получим частное

решение

также сходящееся при случае, когда равняется целому числу все решения уравнения будут регулярными, но этот случай неинтересен, так как разложение будет начинаться с члена степени меньшей, чем Докажем, что в выделенном частном решении все коэффициенты положительны; для этого напишем разложения

и будем непосредственно вычислять коэффициенты с помощью уравнения (11). Подставив выписанные ряды в уравнение и приравняв в обеих частях равенства коэффициенты при одинаковых степенях получим

Так как к принимает значения, начиная с то коэффициент всегда больше или равен величине которая по условию леммы положительна. Из написанных уравнений видно, что все величины положительны.

Замечание. Первая часть рассуждений, проведенных в доказательстве леммы 1, распространяется и на уравнение

где — ряды с произвольными

коэффициентами, сходящиеся при Если удовлетворяет условию замечание 2), то рассматриваемое уравнение имеет частное решение, представимое в виде ряда, сходящегося при Обозначим

Очевидно, что ряд сходится при Тогда общее решение уравнения запишется в виде

Подынтегральное выражение можно записать как дробь

Легко видеть, что если не равно целому положительному числу, то общее решение разлагается в ряд, сходящийся при Если же целое число, то следует различать два случая:

1) никакое решение не будет регулярным вследствие того, что при интегрировании в войдет выражение

все решения регулярны и сходятся при