§ 10. Полурегулярные функции

В дальнейшем неоднократно будут встречаться функции которые при любом целом могут быть представлены в виде

где стремятся к нулю так же как сумма конечного числа членов. Такие функции будем называть полу регулярными в точке

В каждом отдельном случае уточняется структура членов, входящих в конечные суммы Иногда это будут степенные ряды по в других случаях — ряды по содержащие такие выражения, где принимает некоторое множество значений.

В дальнейшем строится как такая сумма, любое слагаемое которой поделенное на при либо неограниченно возрастает, либо стремится к конечному пределу. Однако это лишь свойство членов суммы его не следует рассматривать как способ построения

Очевидно, что сумма или произведение полурегулярных функций есть функция полурегулярная. В дальнейшем рассматриваются только полурегулярные функции, которые обращаются в нуль при Для таких функций, в соответствии с определением полурегулярности, будем говорить о бесконечно малых членах наинизшего порядка. Для функций, которые встречаются в дальнейшем, такие минимальные члены будут где постоянные. Члены же с могут входить в величины более высокого порядка.

Докажем следующее утверждение.

Если функция, полурегулярная при функция, полурегулярная при то есть функция, полурегулярная при

Пусть любое фиксирование целое число, целые, которые подберем в дальнейшем. В силу полурегулярности функций имеем

где — соответственно члены с наименьшими степенями в конечные суммы, обращающиеся в нуль при

1. Так как член наинизшей степени в то

где Если это выражение подставить вместо и в и предположить, что выбрано так, что то будем иметь

где стремится при стремящемся к нулю. Выражение начинается со слагаемых, имеющих порядок по выше чем .

2. Покажем, что содержит только конечное число бесконечно малых членов, имеющих по порядок, не превосходящий а. Пусть некоторый член из Показатель равен нулю или целому положительному числу. Выражение для и можно записать еще и в виде

где 2 стремится к нулю при стремящемся к нулю. Тогда

Разложим в этом выражении величины по формуле бинома и рассмотрим слагаемые, которые содержат Во всех этих членах выражение, содержащее наинизшую степень имеет вид

Наименьшее значение показателя равно а.

Следовательно если выбрать так, чтобы выполнялось неравенство то множество членов, содержащих будет вида входят в Чтобы найти члены вида входящие в достаточно рассмотреть выражение

и выбрать из него слагаемые, степени которых меньше чем о. Таких слагаемых будет конечное число. Повторяя аналогичные рассуждения относительно различных членов придем к заключению, что

где содержит только конечное число слагаемых. Следовательно, функция полурегулярная при