§ 7. Функциональные мажоранты

В дальнейшем встретимся с несколькими приемами представления функций рядами, удовлетворяющими некоторым условиям. Чтобы выделить эти условия, будем употреблять, за недостатком лучшего выражения, следующее

Определение. Пусть даны положительное число и функция ; будем говорить, что эта функция удовлетворяет условию если она подчиняется требованиям:

1) функцию можно представить в виде ряда по

с коэффициентами непрерывными по в промежутке

2) существуют положительные числа такие, что для выполняются неравенства

3) ряд сходится в точке

4) имеет место неравенство

При этих предположениях ряд абсолютно сходится для всех Постоянные мажоранты для коэффициентов Функция мажоранта для при всех Наконец, для этих значений х и у будет иметь место неравенство

Пусть произвольная голоморфная функция в окрестности начала координат и равная нулю при проделав замену переменных постоянные, получим новую функцию

Покажем, что коэффициенты можно выбрать так, чтобы функция удовлетворяла условию Поскольку голоморфная функция в окрестности найдутся такие числа что представляется рядом, абсолютно сходящимся в точке Сделав замену переменных получим

Ряд абсолютно сходится при и его можно представить в виде

Пусть ряд, который получается из заменой коэффициентов при и и у их абсолютными значениями; тогда

Для всех и для любого имеют место неравенства

Функция равна нулю при и поэтому ее можно представить в виде

где

Обозначим через наибольшее из чисел и 1). Можно, предполагать, что Очевидно, что

В функции сделаем замену переменных получим

Покажем, что удовлетворяет всем условиям Действительно:

Обозначив получим

где — непрерывные функции при

Следовательно, если положить то для всех

3. Обозначим

Этот ряд сходится при , поскольку

4. Из равенства и (10) заключаем, что

Замечание 1. Если функция

голоморфна при то за числа можно взять сумму абсолютных значений членов ряда . В этом случае для функции будет выполнено не только условие но она обладает еще и свойствами:

1) для любого и для всех

2) голоморфные функции х и у при

3) если представить рядом по

то для каждого при имеем

Замечание 2. Аналогично, если дано положительное число X и ряд абсолютно сходится при то будем говорить, что функция удовлетворяет условию если сумма абсолютных значений членов ряда меньше

Замечание 3. В соответствии с введенным понятием будем говорить, что есть мажоранта для на отрезке [0, 1], если положительна и для всех из указанного отрезка. В дальнейшем, когда положительную или отрицательную функцию заменим на положительную или отрицательную функцию такую, что при всех то будем говорить, что увеличиваем функцию