§ 46. Функция соответствия для области отталкивания, ограниченной единственной характеристикой x=0

Предположим, что выполнены следующие условия:

1. Дифференциальное уравнение имеет характеристику проходящую через сложную особую точку

2. По одну сторону от этой характеристики, например со стороны положительных не существует никакой характеристики, оканчивающейся в и не пересекающей оси

Дифференциальное уравнение запишем в виде

где однородные полиномы степени представляющие собой члены наинизшей степени в коэффициентах при

Пусть два положительных числа таких, что дифференциальное уравнение не имеет, за исключением никакой другой особой точки, расположенной на оси между прямыми Рассмотрим характеристику С, близкую к найдем функцию соответствия между абсциссами точек пересечения кривой С с прямыми

Лемма. Зависимость, которую дает искомая функция соответствия, показывает, что каждая характеристика С, пересекающая прямую в точке достаточно близкой к оси пересечет и прямую в точке которая будет также близка к оси

Чтобы не вводить в рассуждения излишних осложнений, докажем это свойство непосредственно. Оно будет в дальнейшем использоваться во многих рассуждениях.

Всегда можно найти такое а, что для коэффициент при в уравнении (135) не будет обращаться в нуль. Пусть точки пересечения характеристики с прямым Обозначим точки пересечения прямых аирассмотрим прямоугольник который будем обозначать

Можно подобрать а настолько малым, чтобы внутри не существовало особых точек уравнения (135). Характеристика С, проходящая через точку отрезка не касается его в этой точке. Продолжим ее внутрь прямоугольника очевидно, что С выйдет из через точку так как внутри нет особых точек и, по предположению, С не может окончиться точке О. Когда точка приближается в точке соответствующая ей точка перемещается по границе в одном и том же направлении и, следовательно, стремится к некоторому предельному положению К. Покажем, что К совпадает с

Действительно, если К не совпадает с то через точку К проходит характеристика отличная от оси

На характеристике С существует направление, следуя по которому она входит внутрь области через точку К. Действительно, если бы это не имело места, то характеристика С, проходящая через точку близкую к К, также не могла бы войти внутрь Характеристика С, следуя по указанному направлению, выйдет из через точку К, отличную от На дуге К К кривой С нет особых точек. Характеристика С, проходящая через точку близкую к К и следующая в том же направлении, что и С, выйдет из в точке близкой к К. Но это невозможно, поскольку должна быть близка к а К отлично от

Таким образом, К совпадает с Характеристика С, пересекающая прямую в точке близкой к пересечет в точке близкой Лемма доказана. Прежде чем приступить к нахождению функции соответствия между сделаем одно замечание.

Предположениям, сделанным в отношении рассматриваемого уравнения, не противоречит утверждение, что уравнение (135) имеет действительные или мнимые решения такие, что частное стремится к пулю при стремящихся к нулю. Необходимо только полагать, что на этих решениях стремится к нулю, принимая отрицательные значения. Допустим сначала, что приводимый случай не встретится при исследовании интегралов уравнения (135), проходящих через точку и касающихся в ней оси Если существуют интегралы, на которых стремится к нулю одновременно с х и у, то они должны быть такими, что для любого целого положительного отношение также стремится к нулю при х и у, стремящихся к нулю. Пусть произвольное положительное число. Рассмотрим прямые имеющие соответственно уравнения Если точка достаточно близка к точке то будет лежать выше прямой а ниже . Характеристика пересекающая в точках с абсциссами будет пересекать и в точках с абсциссами Выбирая надлежащим образом покажем, что можно найти:

1) функцию соответствия между также между

2) функцию Соответствия между

1°. Функция соответствия между Если положить то уравнение (135) приведется к виду

где Поскольку предположили, что приводимый случай не может иметь места для решений уравнения (135), проходящих через точку и касающихся в ней оси то, согласно § элементарная особая точка уравнения (136). Следовательно, одновременно не могут обращаться в нуль. Выражение не равно тождественно нулю, ибо в противном случае была бы дикритической точкой, а это противоречит сформулированному в начале § 46 условию 2.

В силу выбора чисел на оси между прямыми нет никаких особых точек уравнения (136), отличных от точки Существует такое, что при — выражение не обращается в нуль, за исключением, быть может, точки

Положение точек пересечения кривой С с прямыми будет полностью определяться значениями абсцисс этих точек. Соотношение ставит в соответствие характеристике С уравнения (135) характеристику уравнения (136), точкам точки в которых пересекается с прямыми Положение этих точек будет полностью определяться значениямих, Точкам соответствуют в плоскости точки

Возьмем в плоскости точки

Рассмотрим часть характеристики расположенную в области она близка к характеристике , образованной сегментом оси и сегментом оси Прямые которые пересекают в точках будут нормалями к . На дуге кривой есть только одна элементарная особая точка. Следовательно, известен вид зависимости между Точно так же из рассмотрения части расположенной в области найдем зависимость между Природа этой зависимости определяется характером особой точки которая может быть или седлом, или исключительной особой точкой.

2°. Функция соответствия между Положим тогда уравнение (135) приведется к виду

Двум прямым плоскости х, у соответствуют две прямые плоскости характеристике С соответствует характеристика пересекающая прямые в точках с абсциссами

Допустим вначале, что на оси между прямыми нет ни одной особой точки уравнения (137). Выражение не обращается в нуль, когда изменяется от —1 до 1.

Обозначим точки пересечения прямой с прямыми Сегмент прямой представляет собой дугу характеристики, на которой нет особых точек. Характеристика близкая к этому сегменту, определяет голоморфное соотношение между и абсциссами точек пересечения С с прямыми Следовательно, где функция голоморфная при и

3°. Функция соответствия между в случае, когда уравнение (137) имеет особые точки на оси

Рассмотрим теперь случай, опущенный в 2°. Предположим, что уравнение (137) имеет одну или

несколько особых точек на оси между прямыми Вне этого отрезка на оси нет других особых точек уравнения (137). Разделим сегмент на части так, чтобы в каждом из полученных отрезков лежала бы только одна особая точка. Пусть прямые перпендикулярные к ограничивающие сегмент, содержащий особую точку Зависимость, которая существует между будет результирующей зависимостью между абсциссами точек пересечения характеристики с различными прямыми где принимает значения соответствующие числу особых точек уравнения (137), лежащих на оси Найдем вид этих соотношений, приняв во внимание, что особая точка того же характера, что и точка для уравнения (135).

Если положить то уравнение в переменных не будет иметь характеристик, оканчивающихся в точке и расположенных со стороны положительных так как такие характеристики соответствовали бы характеристикам уравнения (135), оканчивающимся в точке Уравнение в переменных имеет, так же как и уравнение (135), решение Чтобы установить зависимость, которая существует в плоскости между абсциссами точек пересечения характеристики с прямыми Сбудем проводить рассуждения, аналогичные тем, которые были проделаны для уравнения в переменных х и у при получении соотношения между абсциссами точек пересечения характеристики С с прямыми Если, положив получим дифференциальное уравнение в переменных не имеющее особых точек на конечной части прямой то зависимость между абсциссами рассматриваемых точек получим так же, как и в 2°. Если уравнение в переменных имеет особые точки на конечной части оси то повторим рассуждения 3°.

Продолжая эти преобразования далее, придем к уравнению в переменных не имеющему особых точек на конечной части оси Действительно, последовательные выполнения указанных замен переменных приводят к уравнениям, имеющим решения (мнимые, если положительное) такие, что

стремятся к конечному пределу, когда стремится к нулю Известно, что, выполняя указанные преобразования, будем получать элементарные особые точки до тех пор, пока не остановимся на уравнении в переменных не имеющем особых точек на оси Сформулированное утверждение справедливо, ибо если придем к уравнению в переменных имеющему элементарную особую точку то у полученного уравнения будет существовать по крайней мере одна характеристика, расположенная со стороны положительных и оканчивающаяся в точке Этой характеристике будет соответствовать характеристика С, расположенная со стороны положительных и оканчивающаяся в точке что противоречит сделанным предположениям. Следовательно, проводя указанные преобразования переменных, непременно придем к случаю 2°.

Применим теперь изложенный метод к нахождению функции соответствия между Рассмотрим серию промежуточных параметров которые будут абсциссами точек пересечения характеристики С с кривыми, проходящими через точку и заключенными в угле между прямыми Полагая получим серию соотношений между двумя последовательными значениями где принимает значения Эти соотношения будут голоморфными или соотношениями, соответствующими прохождению характеристики в окрестности элементарной особой точки.

Заключение. В случае, когда к уравнению (137) применимы рассуждения 2° или 3°, приходим к заключению. Прохождение характеристики вблизи особой точки эквивалентно, в смысле функции соответствия, последовательному прохождению характеристики в окрестности некоторого числа элементарных особых точек.

Если, например, предположить, что для уравнения (136) особая точка седло и что у

уравнения (137) нет особых точек на оси то будем иметь соотношения

где постоянные, полурегулярные функции, равные нулю при нулевых значениях аргументов, голоморфная функция, равная нулю при Исключая последовательно и из этих соотношении, получим

где k — постоянная, К — полурегулярная функция, равная нулю при . В частном случае К может быть рядом по целым степеням но, вообще говоря, К — полурегулярная функция, представляющая собой ряд по степеням а также если X — рациональное. Если все особые точки, встречающиеся при применении к уравнениям (136) и (137) указанного метода, будут седла, то соотношения между имеют вид где функция полурегулярная и равная нулю при Это утверждение распространяется, только с некоторыми ограничениями, на случай, когда некоторые из рассматриваемых особых точек будут исключительные особые точки. Так следует заметить, что если одна из этих исключительных точек проходится в направлении то другая будет проходится в направлении (см. § 34).

Замечание. Метод, который был применен при получении функции соответствия в случае особой точки рассматриваемого типа, распространяется, в частности, на случай полуособой точки Если две дуги характеристики, оканчивающиеся в полуособой точке есть ветви кривой, для которой регулярная точка, то с помощью замены переменного, приняв эту кривую за ось можно применить метод, указанный далее, для произвольной особой точки.