§ 12. Упрощение дифференциального уравнения в окрестности одного седла

Покажем, что с помощью замены переменных в уравнении

можно избавиться от некоторых групп членов разложения в ряд

Прежде всего, заметим, что если за оси координат принять две характеристики, проходящие через седло, то уравнение (14) преобразуется к виду

где — положительная постоянная, а(х, у) — функция переменных регулярная в некоторой окрестности точки — и такая, что Не изменяя формы этого уравнения, можно в случае необходимости заменить на на так, чтобы функция а(х, у) удовлетворяла еще условию (см. § 7).

Покажем, что если X не рациональное число, то, каковы бы ни были целые положительные числа существуют два ряда по целым, положительным степеням обращающиеся в нуль при такие, что при помощи замены переменных уравнение (15) приводится к виду

Обозначим через функции переменного построим функцию вида

так, чтобы она удовлетворяла уравнению в частных производных

Функцию а(х, у) можно представить в виде

где производная от ряда по целым степеням обращающегося в нуль при ряды по целым степеням, сходящиеся, как известно, при Для функции имеем

откуда находим в предположении, что при Функция регулярна при Покажем, что указанным свойством регулярности

обладают и функции Действительпо, если предположить, что функции существуют и регулярны, то, приравнивая нулю коэффициент при определения получим уравнение

где правая часть — функция, регулярная при Согласно замечанию (§ 8) уравнение (18) имеет решение регулярное при

Определив последовательно члены рассмотрим функцию

Если в (17) заменить на то коэффициенты при У» в левой части исчезнут и получим

где регулярная функция при

Положим тогда будет удовлетворять уравнению

Представив как ряды по степеням

будем искать решение (20) в виде

где функции одного только у. Коэффициент находится из уравнения

Функция (см. замечание 3 § 7) удовлетворяет условию — . В силу этого дифференциальное уравнение для имеет (см. замечание § 8) бесчисленное множество регулярных по у решений, и только одно из них не содержит членов с первой степенью у. Это решение примем за функцию она имеет множитель и представляется в виде ряда,

сходящегося при Покажем, что такими же свойствами будут обладать функции они представляются рядами но степеням у, сходящимися при и имеющими множитель Если предположить, что справедливость этих свойств доказана для функций приравнивая нулю коэффициент при в (20), получим

Правую часть этого соотношения обозначим где ряд по степеням у, сходящийся при Согласно замечанию § 8 у этого уравнения существует решение, представимое в виде ряда по степеням у, сходящегося при и имеющего множителем Определив таким способом положим

Если в уравнении (20) вместо подставить то коэффициенты при в левой части исчезнут, и получим

Положим тогда, приняв во внимание (19) и (21), получим, что функция удовлетворяет уравнению

Вместо переменного у введем новое переменное

Функция К(х, у) имеет вид где — ряд, сходящийся в области Поэтому (23) можно разрешить относительно переменного у, выразив его через Проделав в уравнении (15) замену переменного (23), будем иметь

Обозначим через коэффициент при заменив

предварительно у его выражением через тогда уравнение (15) в новых переменных примет вид

В уравнении (22) сделаем замену переменного (23); обозначив через результат подстановки в вместо у его выражения через получим

или

Так как это уравнение имеет решение

Следовательно, замена переменного (23) приводит уравнение (15) к виду (16).

Замечание 1. Замена переменного (23) возможна только при таких достаточно малых для которых Но заменяя на где с мало, можно предполагать, что указанная подстановка имеет место при и что функция удовлетворяет условию (§ 7).

Замечание 2. Уравнение (15), в частности, можно привести к виду

если заменить вместо того, чтобы заменять у. Использовав разложение в ряд по степеням у, перепишем уравнение (15) в виде

Введем новое переменное и, определив его из уравнения

Взяв с достаточно малым, заменяя на и, приведем уравнение (15) к виду

где ряд, сходящийся при