§ 34. Замечания о характеристиках, близких к циклу, проходящему через несколько исключительных особых точек

Параметры и у, введенные в § 19 при получении функции соответствия в окрестности характеристики, проходящей через одно седло, абсолютно равноправны. Соотношение, связывающее и у, имеет одинаковый вид, разрешить ли его относительно и или относительно Этого уже нельзя сказать о переменных и введенных в § 31 при получении функции соответствия в окрестности характеристики, проходящей через одну исключительную особую точку. Соотношение (91) изменит свою форму, если его разрешить относительно и.

Рассмотрим цикл , проходящий через несколько исключительных особых точек Обозначим через параметры, соответствующие точке аналогичные параметрам , рассмотренным в § 31. Допустим, что параметр играет ту же роль, что и параметр и в § 31. Можно всегда предполагать, как в § 22, что дуга соответствует положительной части оси Если на цикле зафиксируем определенное направление обхода, при котором точки проходятся в порядке их индексов, то, начиная от будут встречаться точки двух различных категорий:

1) такие, для которых дуге соответствует положительная часть оси

2) такие, для которых дуге соответствует положительная часть оси

Допустим, что, следуя вдоль характеристики С, близкой к , в направлении, зафиксированном на , пройдем в окрестности точки первой категории. При этом характеристика пересечет линию в точке с параметром и выйдет из окрестности, пересекая кривую в точке с параметром . В этом случае будем говорить, что пересекает в смысле Если точка второй категории, то будем говорить, что пересекает в смысле

Предположим теперь, что, обходя цикл , пересечем исключительную точку в направлении и после прохождения через некоторое число седел пересечем вторую исключительную точку в направлении Рассмотрим характеристику С, близкую к .

Найдем функцию соответствия между точками пересечения С с двумя дугами кривых пересекающих в точках и Пусть при этом кривые пересекают таким образом, что, перемещаясь по дуге начиная с встречаем вначале точку затем после некоторого числа седел точку наконец, Покажем, что искомая функция соответствия имеет форму, аналогичную тому, как если бы на дуге не существовало других особых точек, кроме седла.

Возьмем на дуге точку заключенную между и не совпадающую ни с одним из седел. Рассмотрим дугу кривой пересекающую в Характеристика С встречает последовательно кривые в точках с параметрами Предположим, что эти параметры обращаются в нуль, когда С совпадает с . В силу (102) § 32 (замечание) имеем

где — положительные постоянные, тип — целые, полиномы степени соответственно меньше полурегулярные функции, равные нулю при

Приравнивая два значения 6 и логарифмируя, получим

Это равенство можно переписать в виде

Извлекая корень степени из обоих членов, полагая и обозначая и полурегулярные функции, равные нулю при нулевых значениях

переменных, имеем

где с — постоянная. Из (102) следует, что частное имеет конечный предел при стремящемся к нулю. Поэтому

где стремится к нулю при стремящемся к нулю. Покажем, что эта функция полурегулярная при Из (103) и (104) имеем

Так как полурегулярная функция при то, каково бы ни было можно записать

где стремится к нулю, когда стремится к нулю, полином по обеим переменным Если заменить в выражении его значением из (104), то получим

Пусть значение куда вместо подставлено (104). Функция К есть ряд по причем все его коэффициенты обращаются в нуль при Таким образом, можно записать

Рассмотрим функцию равную нулю при и удовлетворяющую уравнению

которое получается, если в (105) вместо подставить и заменить на Очевидно, будет голоморфной функцией переменных Следовательно, гголурегулярная функция, равная нулю при Положим тогда

где ряд по степеням с коэффициентами, представляющими собой полиномы по и равный нулю при

Сделав ту же подстановку в (105) и принимая во внимание (106) и (107), получим

Это соотношение показывает, что при стремящемся к нулю, стремятся к нулю, причем отношение также стремится к нулю. Аналогично ведет себя и отношение Величина может принимать какие угодно большие значения. Отсюда следует, что полурегулярная функция, равная нулю при

Таким образом, (104) имеет структуру, аналогичную той, какую имеет функция соответствия для характеристики, близкой к дуге проходящей через одно седло