§ 13. Случай рационального «лямбда»

Если К — число вида где целые и взаимно простые числа, то рассуждения предыдущего параграфа применимы не при любых Предположим в начале, для простоты, что уравнение (15) (согласно замечания 2 § 12) приведено к виду

где

регулярные функции Так же как и в предыдущем случае, найдем функцию

удовлетворяющую уравнению

В начале определим регулярную при функцию такую, что и без затруднений найдем также в виде рядов по Но в общем случае будет невозможно найти функцию в виде ряда по целым степеням Действительно, уравнение, из которого определяется имеет вид

где выражается через известные функции

Следовательно,

Если в разложении имеется член то в войдет член и функция уже не будет регулярной. Однако от этого члена можно избавиться, если вместо уравнения (24) рассмотреть уравнение

В этом случае для функций получим такие же выражения, как и прежде, но функция

будет определяться из новогб уравнений

Теперь решение этого уравнения будет рядом по целым степеням в котором коэффициент при произвольный. Апалогично можно избавиться от членов в функциях если вместо (24) рассматривать уравнение вида

где постоянные, которые могут быть и нулями. Условимся для определенности в дальнейшем коэффициент при который остается произвольным при определении считать равным нулю.

Предположим, что можно выбрать так, чтобы имело место неравенство

Тогда, так же как и в § 12, построим функцию

которая удовлетворяет уравнению

где ряд по целым степеням

Если положить то уравнение (25) преобразуется следующим образом:

Будем искать решение этого уравнения в виде ряда

где — функции одного только переменного у.

Очевидно, если положить будут

находиться из уравнений

Для непосредственно видно, что

1) по Целым степеням у;

2) ряд по целым степеням у, имеющий множитель

Если первое свойство выполняется для то оно будет иметь место и при т. е. будет также выражаться рядом по целым степеням у. Пусть ряды по имеющие множитель тогда таким же свойством обладает и Найдем условия, при которых эти свойства нарушаются. Уравнение для можно переписать в виде

где производная от функции ряды по целым степеням у. Решив это линейное уравнение, найдем

Положив получим, что будет рядом по целым степеням у, если при интегрировании не войдет член с Но подобный член может появиться, только если выполнены следующие два условия:

1) целое, т. е. когда — целое;

2) разложепие в ряд начинается со свободного члена.

Для этого необходимо или . С другой стороны, по предположению, Из последних двух неравенств находим, что Это неравенство будет заведомо выполнено, если

Таким образом, если удовлетворяет неравенству то функции ряды по целым степеням. Выбирая всякий раз в выражении для можем предполагать, что все они имеют множителем Это следует из вида подынтегральной функции. Положим

тогда получим

где ряд по целым степеням x и у.

Приняв во внимание (26) и (28), видим, что есть решение уравнения

Далее, рассуждая так же как и в § 12, приходим к заключению, что заменой переменного уравнение (15) приводится к виду

Можно предполагать, что ряд сходится при (см. § 12, замечание 1).