§ 31. Функция соответствия в окрестности характеристики, проходящей через одну исключительную особую точку

Рассмотрим в плоскости квадрат стороны которого имеют уравнения Характеристика С

дифференциального уравнения (77), входящая в квадрат через точку стороны выходит из него, пересекая сторону в точке так как возрастает, когда и убывает от 1 до 0. Действительно, из рассуждений, проведенных в § 26, следует, что внутри квадрата Пусть координаты точки а координаты точки Всегда можно, заменяя, в случае необходимости, и на выбрать постоянную с так, чтобы формула (85) общего интеграла (77) сохраняла смысл и при Общий интеграл (85) непосредственно дает зависимость между параметрами определяющими положение точек на прямых

Это и есть искомая функция соответствия.

Из вида уравнения (66) следует, что все коэффициенты в уравнении (69) имеют множитель . В силу этого в уравнении (77) все коэффициенты имеют множитель и. Применяя к уравнению (77) результат, полученный в § 29, видим, что функции равны нулю при Следовательно, (90) можно записать в виде

где постоянная, равно нулю при . Далее заметим, что, согласно доказанному в § 30,

где полиномы по и степени, меньшей чем и ряд сходится при Следовательно, есть функция полурегулярная и равная нулю при

Рассмотрим в плоскости две кривые соответствующие прямым плоскости Пусть -характеристика уравнения (60), соответствующая характеристике С уравнения (77), и -характеристика (60), проходящая через особую точку и соответствующая двум дугам сепаратрис ограничивающих область отталкивания,

в которой расположена С. Кривые и пересекают в точках Точкам соответствуют близкие точки лежащие на пересечениях дуг с кривой С. Функция соответствия между известна.

Освободимся от ограничений, связанных со специальным выбором кривых Возьмем на части дугй соответствующей точку а на части дуги , соответствующей точку Пусть эти точки будут таковы, что, перемещаясь по в направлении встречаем последовательно точки До, не пересекая других особых точек, отличных от

Пусть дуга кривой, пересекающей дуга кривой, пересекающей Найдем функцию соответствия между точками в которых характеристика С, проходящая через пересекает кривые Эта зависимость получается непосредственно на основании § 2 (см. § 19, замечание), если координаты х и у точки на будут голоморфными функциями и, а координаты точки на будут голоморфными функциями и. Исследуем результирующую замену переменных, переводящую уравнение (60) в уравнение (77). Эти замены следующие:

Функции полурегулярные и равные нулю при ряды, начинающиеся с членов не ниже второй степени по х и у. Равенства (92) можно разрешить относительно х и у, выразив их как голоморфные функции . В силу этого на кривой соответствующей будут голоморфными функциями и. Пусть параметр, фиксирующий положение точки на если этот параметр обращается в нуль, когда совпадает с то справедливо соотношение

где правая часть — ряд по степеням с постоянными коэффициентами Из этой зависимости

й уравнения (91) получаем

где постоянная функция полурегулярная и равная нулю при

Однако, рассуждая таким образом, нельзя получить соответствие между точкой на и точкой на Действительно, согласно формуле (93), на дуге соответствующей имеем

где функция полурегулярная и равная нулю при координаты точки на не будут голоморфными функциями эти функции полурегулярные.