§ 54. О конечности числа предельных циклов

Как известно (Бендиксон, стр. 16) внутри каждого цикла лежит по крайней мере одна особая точка. С другой стороны, число особых точек уравнения (148), где многочлены, конечно. Чтобы показать, что число предельных циклов конечно, достаточно доказать, что конечно число предельных циклов, окружающих особую точку

Проведем через точку прямую на которой не лежит ни одна конечная или бесконечно удаленная особая точка, исключая точку Если существует бесконечно много предельных циклов, окружающих то их точки пересечения с имеют по крайней мере одну предельную точку лежащую на конечном расстоянии или бесконечно удаленную. Следовательно, на существует сегмент такой, что через точки достаточно близкие к проходят предельные циклы. Покажем, что это невозможно.

Обозначим С характеристику, выходящую из и продолженную в произвольно выбранном направлении. Известно (Бендиксон, стр. 17), что тогда возможен один из следующих случаев:

1. С — цикл, не проходящий через особые точки.

2. С неограниченно приближается к замкнутой кривой, не проходящей через особые точки.

3. С оканчивается в особой точке и характеристики, выходящие из точек отрезка близких к также оканчиваются в этой точке.

4. С оканчивается в особой точке; характеристики, выходящие из точек отрезка близких к не оканчиваются в этой особой точке.

Рассмотрим последовательно каждый из этих случаев.

1. С — цикл. Если рассмотрим характеристику С, проходящую через точку отрезка достаточно близкую к то эта характеристика вновь пересечет отрезок в точке близкой к и будет существовать голоморфная зависимость между длинами отрезков и Поэтому или все характеристики С есть циклы, или ни одна из них не будет предельным циклом.

Чтобы обойти затруднения, которые могут возникнуть в случае, когда касается кривой С в точке достаточно заметить (Бендиксон, стр. 11), что можно описать вокруг точки (как центра) круг такого малого радиуса, чтобы каждая характеристика С, проходящая через внутренние точки этого круга, пересекала нормаль проведенную к кривой С в точке Каждая характеристика проходящая через точку достаточно близкую к пересекает нормаль в точке Возникшие затруднения будут обойдены, если предыдущие рассуждения провести для точки отрезка

2. Спирали, неограниченно приближающиеся к замкнутой кривой К. Известно (Бендиксон, стр. 15), что в этом случае всегда можно окружить точку кругом такого малого радиуса, что все характеристики, проходящие через внутренние точки этого круга, будут спиралями, неограниченно приближающимися к К. В этом круге лежат точки отрезка близкие к и поэтому невозможно, чтобы через эти точки проходили циклы, в частности предельные циклы.

3. Поскольку характеристики выходящие из точек отрезка близких к так же как и С, оканчиваются в особой точке, то они не могут быть предельными циклами.

4. Известно, что если характеристика С оканчивается в точке а характеристика проходящая через точку отрезка близкую к не оканчивается в то характеристику С можно продолжить через точку при помощи характеристики так, что будут близки и к На совокупность кривых можно перенести рассуждения, относящиеся к С. Если при этом получим случай 2 или 3, то по доказанному не существует характеристик, которые будут предельными циклами. Если же для снова будем иметь случай 4, то рассмотрим характеристику

представляющую собой продолжение через точку в которой оканчивается и так далее.

Если встретится случай 2 или 3, то доказано, что предельных циклов нет, случай же 4 не может повторяться неограниченно потому, что число особых точек конечно, а следовательно, конечно и число сепаратрис; поэтому, если не встретится случай 2 или 3, то необходимо вернемся в исходную точку. Характеристика С и ее продолжения образуют особый цикл. Из предыдущего ясно, что в этом случае характеристики С, проходящие через точку лежащую на и близкую к или все замкнуты или среди них нет ни одного цикла. В обоих случаях предельных циклов нет. Эти рассуждения, опираясь на § 53, можно перенести и на случай, когда предельная точка находится в бесконечности.

Можно предполагать, чтобы избежать осложнений, отмеченных в случае 1, что прямая не касается характеристики С в точке находящейся на бесконечности.

Если же предельная точка совпадает с тогда будет иметь место один из следующих случаев.

1. Существует по крайней мере одна характеристика, оканчивающаяся в с определенной касательной.

2. Ни одна характеристика не оканчивается в с определенной касательной.

В первом случае, очевидно, не существует циклов, проходящих вблизи и окружающих точку Во втором случае, как это было показано в § 59, или все характеристики С — близкие к циклы, или ни одна из них не замкнута. Ни в одном из этих случаев нет предельных циклов. Поэтому можно сформулировать теорему:

Дифференциальное уравнение

где полиномы, имеет конечное число предельных циклов (или нуль).

Предположение о том, что полиномы, было использовано в трех пунктах, которые позволили утверждать, что:

1. Можно исследовать особые точки, лежащие в конечной части плоскости, в предположении, что X и

У — голоморфные функции в окрестности каждой из этих точек;

2. Можно исследовать каждую точку на бесконечности, сводя их изучение к исследованию уравнения

где голоморфные функции в окрестности точки

3. Число особых точек в конечной части плоскости и на бесконености конечно.

Все эти заключения распространяются и на случай, когда непрерывные функции переменных х и у, если эти функции таковы, что выполняются три свойства, указанные выше. Все заключения о циклах, в частности о предельных циклах, переносятся на плоскую область такую, что внутри и на границе этой области лежит конечное число особых точек и при условии, что в окрестности каждой точки области и на ее границе функции голоморфны.

СПИСОК РАБОТ ДЮЛАКА

(см. скан)