§ 49. Функция соответствия для области отталкивания особой точки произвольного вида

Пусть две дуги характеристики, оканчивающиеся в особой точке О и ограничивающие сектор отталкивания этой точки.

Обозначим полупрямые, касающиеся в точке О. Если существует отрезок такой, что он целиком лежит внутри рассматриваемого сектора, то углом этого сектора назовем наименьший угол, на который нужно повернуть чтобы он совпал с пройдя предварительно через Этот угол может быть равным если совпадают.

Если никакого сегмента с указанными свойствами не существует, то угол сектора будем считать равным нулю. Такой случай имеет место, если область отталкивания ограничена двумя дугами характеристики, для которых О — точка возврата. Если угол сектора отталкивания меньше , то можно предполагать, что внутри этого угла не проходит ось и что ни ни не совпадают с Этого всегда можно достигнуть заменой координатных осей. Можно также предполагать, что рассматриваемый сектор расположен в полуплоскости Если угол сектора больше , то можно считать, что полупрямые расположены в области

Рассмотрим прямую пересекающую в точках Предположим, что на дугах кривых нет особых точек, отличных от О. Характеристика С, достаточно близкая к пересекает в точках близких соответственно к Найдем функцию соответствия между т. е. форму зависимости между расстояниями

Напишем дифференциальное уравнение, имеющее особую точку в виде

где однородные полипомы степени представляющие собой совокупность членов наинизшей степени в коэффициентах при Пусть

Оставим на время в стороне случай, когда равно тождественно нулю и точка дикритическая. Чтобы найти функцию соответствия, рассмотрим различные случаи.

1. Угол сектора отталкивания меньше и большей. Рассмотрим все полупрямые, удовлетворяющие однородному уравнению и расположенные внутри сектора отталкивания. Пусть эти полупрямые, занумерованные в том порядке, как они встречаются, начиная от при описывании угла сектора отталкивания. Индекс принимает значения Внутри каждого угла проведем одну полупрямую. Допустим, что полупрямые занумерованы в том же порядке, что и прямые Обозначим угловой коэффициент полупрямой Индекс принимает значения

Аналогично тому, как это было сделано в лемме § 46, покажем, что если характеристика С, проходящая внутри области отталкивания, встречает прямую в точке достаточно близкой к то она встречает каждую из прямых в точке Положение этих точек будет вполне определяться абсциссами

Чтобы найти зависимость между положим Уравнение (144) преобразуется к виду

где Кривой С соответствует в плоскости характеристика С, прямой соответствует прямая асектору между прямыми соответствует часть плоскости где заключенная между Уравнение (145) имеет характеристику На отрезке оси

заключенном между прямыми есть только одна особая точка. Ни одна из характеристик, расположенных со стороны положительных не оканчивается в этой точке. Следовательно, имеем случай, изученный в § 46, и поэтому известно, как найти зависимость, которая существует между абсциссами точек пересечения С с Из леммы § 46 следует, что если одна из этих точек существует, то обязательно есть и другая.

Чтобы получить функцию соответствия для области достаточно найти функцию соответствия между точками в которых характеристика С пересекает прямые поскольку функция соответствия между (точками пересечения С с получается таким же образом. Вернемся к замене переменного Сепаратрисе в плоскости соответствует сепаратриса пересекающая прямую в точке в точке ордината которой равна угловому коэффициенту полупрямой Полупрямая переводится в Характеристика соответствующая С, пересекает прямые точках соответствующих и Если есть элементарная особая точка уравнения (145), то, как и в общем случае, имеем функцию соответствия между абсциссой точки и длиной отрезка Следовательно, получаем функцию соответствия между и Если 1 — не элементарная особая точка, то предположим вначале, что при исследовании сепаратрисы имеет место нормальный случай (§ 41), и сделаем замену переменного, чтобы прийти к случаю, рассмотренному в § 48. По доказанному в § 41 известно, что существует целое число и полином степени не выше такой, что если сделать замену переменного

то будут выполнены следующие условия:

а) стремятся к нулю одновременно, когда, перемещаясь по приближаемся к точке

б) для уравнения в переменных точка элементарная особая точка.

Следовательно, если положить то получится дифференциальное уравнение в переменных

и Для которого особая точка будет удовлетворять трем предположениям, указанным в начале § 48. Используем также замечания § 48 о форме зависимости между Таким образом, функция соответствия между может быть получена в результате использования уже установленных соотношений. Изучим теперь опущенный случай.

2. Угол сектора отталкивания по-прежнему заключен между но точка рассмотренная в 1), не будет элементарной особой точкой и при исследовании сепаратрисы не мооюет быть нормального случая. Поскольку сепаратриса отлична от то известно (§ 44), что если не встретится нормальный случай, то будет иметь место случай приводимости. Существует целое число такое, что, полагая придем к нормальному случаю, и сепаратрисе плоскости соответствует характеристика в плоскости Характеристике С соответствует характеристика

В §§ 49 и 47 было получено соотношение между параметром у, определяющим пересечение и параметром и, определяющим пересечение Заменяя в полученном соотношении и на найдем функцию соответствия между

3. У гол сектора отталкивания равен нулю. Две полукасательные совпадают и расположены в области так же как и область отталкивания.

Известно, что характеристики можно разделить (§ 43) при помощи замены переменного утхг, которая устанавливает соответствие характеристики С характеристике и сепаратрис сепаратрисам ограничивающим в плоскости переменных область отталкивания особой точки Рассуждая так же, как и в 1 и 2, установим функцию соответствия между точками пересечения и кривой следовательно, найдем соотношение между длинами отрезков

4. Угол сектора отталкивания больше . Две полупрямые могут совпадать и угол сектора может быть равен . К полупрямым, удовлетворяющим уравнению и расположенным в угле сектора, добавим полупрямые, образованные из оси точкой О. (Две полуоси Приведем, как и в 1, между этими полупрямыми, к которым добавлены полупрямые Сохраним все обозначения 1. Чтобы

получить функцию соответствия между достаточно вспомнить все, что было сказано в 1 и дополнительно показать, как получается функция соответствия между точками пересечения С с двумя полупрямыми ограничивающими сектор, содержащий часть оси Пусть уравнения где положительны. Положим тогда получим дифференциальное уравнение в переменных имеющее характеристику

Если то уравнение (146) не имеет особых точек, расположенных на между прямыми соответствующими Характеристике С соответствует в плоскости характеристика С, пересекающая в точках соответствующих и Следовательно, может быть найдено голоморфное соотношение между координатами точек и Полагая

получим голоморфное соотношение

между Если

то

есть особая точка (146). В этой точке не оканчивается никакая характеристика (кроме Таким образом, этот случай аналогичен тому, который рассматривался в § 46. Известно, как найти функцию соответствия между

Введя параметры вместо параметров рассмотренных в 1 при получении функции соответствия между избавимся от необходимости введения отрицательных параметров.