§ 22. Характеристики, близкие к особому циклу, проходящему через несколько седел

Пусть цикл проходит последовательно через седла при обходе в определенном направлении. Некоторые из седел могут совпадать, тогда они должны рассматриваться так, как это объяснено на рис. 1 и 2. Седла, в окрестности которых характеристика С, близкая к проходит дважды, будут обозначаться двумя индексами.

Каждому седлу проходимому в направлении соответствует показатель А, значение которого получается в результате приведения дифференциального уравнения, заменой переменных типа (43) к виду

Дуге соответствует в плоскости и, и положительная часть оси дуге соответствует положительная часть оси Если одно и то же седло, проходимое дважды,

На каждой дуге возьмем точку и проведем дугу кривой пересекающую За дуги можно брать прямые, в частности отрезки, параллельные координатным осям. Пусть есть значение параметра, фиксирующего положение точки на должно обращаться в нуль, когда точка совпадает с Точка будет расположена между

Рассмотрим характеристику С, близкую к и пересекающую в точке с параметром Известно, что если достаточно близка к то эта характеристика будет при своем продолжении проходить в направлении встречая последовательно все кривые в точках с параметрами в частности вновь встретит в точке с параметром Согласно § 19 имеем зависимость

где отличные от нуля постоянный функции переменного полурегулярные и равные нулю при 0. Возведем обе части второго уравнения в степень обе части третьего уравнения в степень предпоследнего в степень и последнего в степень Перемножая полученные таким образом равенства, будем иметь

Для того чтобы характеристика С была замкнутой, необходимо, чтобы Полагая в поделим правую и левую части на Если принять во внимание, что стремятся к нулю при стремящихся к нулю, получим, что равенство возможно, если

Таким образом, имеем два необходимых условия для того, чтобы существовали циклы в окрестности . Первое условие алгебраическое, ибо числа могут быть получены алгебраическими вычислениями. Условие же с не алгебраическое, потому что числа вычисляются не алгебраическим методом. Если рассмотрим, например, особый цикл , изображенный на рис. который два раза пересекает седло имеющее показатель , то в этом случае

Для того чтобы характеристики, близкие к были циклами, необходимо чтобы т. е.

Таким образом, в общем случае в кольцевой окрестности цикла, проходящего через несколько седел, не существует других циклов. Покажем, что при более детальном изучении вопроса имеет место заключение, аналогичное тому, которое сделано в § 20.