§ 22. Характеристики, близкие к особому циклу, проходящему через несколько седел
Пусть цикл
проходит последовательно через седла
при обходе в определенном направлении. Некоторые из седел могут совпадать, тогда они должны рассматриваться так, как это объяснено на рис. 1 и 2. Седла, в окрестности которых характеристика С, близкая к
проходит дважды, будут обозначаться двумя индексами.
Каждому седлу
проходимому в направлении
соответствует показатель А, значение которого получается в результате приведения дифференциального уравнения, заменой переменных типа (43) к виду
Дуге
соответствует в плоскости и, и положительная часть оси
дуге
соответствует положительная часть оси
Если
одно и то же седло, проходимое дважды,
На каждой дуге
возьмем точку
и проведем дугу кривой
пересекающую
За дуги
можно брать прямые, в частности отрезки, параллельные координатным осям. Пусть
есть значение параметра, фиксирующего положение точки
на
должно обращаться в нуль, когда точка
совпадает с
Точка
будет расположена между
Рассмотрим характеристику С, близкую к
и пересекающую
в точке
с параметром
Известно, что если
достаточно близка к
то эта характеристика будет при своем продолжении проходить в направлении
встречая последовательно все кривые
в точках
с параметрами
в частности вновь встретит
в точке с параметром
Согласно § 19 имеем зависимость
где
отличные от нуля постоянный
функции переменного
полурегулярные и равные нулю при 0. Возведем обе части второго уравнения в степень
обе части третьего уравнения в степень
предпоследнего в степень
и последнего в степень
Перемножая полученные таким образом равенства, будем иметь
Для того чтобы характеристика С была замкнутой, необходимо, чтобы
Полагая в
поделим правую и левую части на
Если принять во внимание, что
стремятся к нулю при
стремящихся к нулю, получим, что равенство
возможно, если
Таким образом, имеем два необходимых условия для того, чтобы существовали циклы в окрестности
. Первое условие алгебраическое, ибо числа
могут быть получены алгебраическими вычислениями. Условие же с
не алгебраическое, потому что числа
вычисляются не алгебраическим методом. Если рассмотрим, например, особый цикл
, изображенный на рис.
который два раза пересекает седло
имеющее показатель
, то в этом случае
Для того чтобы характеристики, близкие к
были циклами, необходимо чтобы
т. е.
Таким образом, в общем случае в кольцевой окрестности цикла, проходящего через несколько седел, не существует других циклов. Покажем, что при более детальном изучении вопроса имеет место заключение, аналогичное тому, которое сделано в § 20.