§ 40. Случай, когда особая точка — центр или фокус

Для того чтобы особая точка уравнения (108) была фокусом или центром, необходимо (§ 5), чтобы ни одна из характеристик не оканчивалась в О с определенной касательной. Из предыдущего следует, что такие случаи могут иметь место. Уточним их. При исследовании уравнения (108), вообще говоря, могут быть следующие четыре возможных случая.

1. Точка О — дикритическая точка. Это единственный случай, когда уравнение возможных направлений касательных в О для характеристик, оканчивающихся в этой точке, обращается в тождество.

2. Уравнение дающее направление касательных в О, имеет по крайней мере один действительный множитель, которому соответствует трансформированное уравнение простой формы.

3. Уравнение не имеет действительных множителей.

4. Уравнение имеет действительные множители, но ни одному из них не соответствует трансформированное уравнение простой формы.

Как известно (§§ 37, 38) в случаях 1 и 2 существует по крайней мере одна характеристика С с определенной касательной в точке О. В случае 3 таких характеристик нет. В случае 4 необходимы дополнительные исследования. С этой целью получим трансформированные уравнения для каждого из действительных множителей Рассмотрим какое-либо из этих уравнений. Случай 3 для него не может иметь места, так как оно имеет введенное решение или Случай 2 может представиться, но ему не будет соответствовать характеристика С.

В самом деле, рассмотрим действительный множитель выражения соответствующий введенному решению или и сделаем преобразование, отвечающее этому множителю. Согласно сказанному (§ 39, замечание 1) полученное уравнение будет иметь только введенные решения, а они не дают характеристик С. Поэтому только случаи 1, 2 и 3 могут иметь место для каждого последующего преобразования. Все, что было сказано в отношении уравнения (108), может быть повторено для каждого нового трансформированного уравнения. Продолжим рассуждения до тех пор.

пока не встретится случай 4. После конечного преобразований увидим, что для того чтобы точка О была фокусом или центром, должны выполняться следующие условия:

а) необходимо, чтобы уравнения, определяющие направление касательных в начале координат как для данного уравнения, так и для его различных трансформаций, не имели, за исключением множителей, соответствующих введенным решениям, никаких линейных действительных множителей, приводящих трансформированное уравнение к простой форме;

б) если линейный множитель, соответствующий введенному решению, приводит трансформированное уравнение к простой форме, необходимо, чтобы это уравнение имело только введенные решения.

Сформулированные необходимые условия будут и достаточными. Действительно, из результатов § 39 следует, что всякая характеристика С, имеющая касательную в О, соответствует характеристике дифференциального уравнения простой формы, полученного в результате конечного числа последовательно выполненных преобразований. Эта характеристика также должна оканчиваться в начале координат с определенной касательной. Но если условия а) и б) выполняются, то трансформированное уравнение простой формы, полученное посредством замен переменных, не имеет характеристик которым бы соответствовали характеристики С.