§ 5. Типы особых точек

Особые точки можно классифицировать двумя различными способами в зависимости от того, рассматривается ли расположение характеристик в окрестности особой точки или изучается форма уравнения вблизи такой точки.

Эти две точки зрения различны; уравнения разной формы могут иметь одинаковые расположения характеристик в окрестности особой точки. Первая точка зрения необходима при решении вопросов, связанных с понятием непрерывности характеристик. Вторая точка зрения будет необходима при исследовании функции соответствия, когда характеристика проходит в окрестности особой точки и в ней не оканчивается.

В этом параграфе исследуются особые точки в связи с расположением характеристик. Любая характеристика, которая оканчивается в особой точке или оканчивается в этой точке с определенной касательной, или спиралью, накручивается на и неограниченно к ней приближается. Каждый из этих двух случаев, имеющий место для одной характеристики, будет иметь место и для всех характеристик, оканчивающихся в . В соответствии с этим будем различать следующие случаи:

1. Ни одна из характеристик оканчивается в Точка будет центр.

2. Характеристики оканчиваются в но ни одна из них не оканчивается с определенной касательной. Особая точка — фокус. В этом случае, если точку

принять за центр круга достаточно малого радиуса, то всё характеристики, входящие внутрь этого круга, спиралями приближаются к (§ 52). К точке не будет примыкать ни одна сепаратриса.

3. Дуги характеристик, оканчивающиеся в с определенной касательной, будут сепаратрисами. Особая точка — седло. Число характеристик, оканчивающихся в седле, всегда конечное и четное. Каждая из них имеет два продолжения. Область, ограниченная двумя соседними характеристиками, оканчивающимися в есть область отталкивания.

4. Характеристики оканчиваются в с определенной касательной, но ни одна из них не будет сепаратрисой. Особая точка — узел. Приняв за центр круга, можно выбрать его радиус настолько малым, чтобы каждая характеристика, входящая в этот круг извне, приближалась к с определенной касательной.

5. Дуги характеристик оканчиваются в с определенной касательной, и некоторые из них, но не все — сепаратрисы. Такую особую точку назовем смешанной. Существует конечное, число сепаратрис, оканчивающихся в каждая из которых имеет одно или два продолжения. Построим круг с центром в точке не содержащий внутри особых точек, отличных от Можно показать, что при достаточно малом радиусе круга, каждая сепаратриса пересекает круг только в одной точке. Две сепаратрисы назовем соседними, если их точки пересечения с границей круга, обозначенные соответственно определяют дугу, которую не пересекает ни какая другая сепаратриса, примыкающая к Две соседние характеристики, из которых одна есть продолжение другой, ограничивают сектор отталкивания. Две сепаратрисы, не продолжающие одна другую, ограничивают сектор притяжения, или узловой сектор.

Простейший пример смешанной особой точки дает уравнение

общий интеграл которого запишется в виде Область узловая. Две области полуплоскости ограниченные прямыми есть области отталкивания. Положительная часть оси сепаратриса, имеющая продолжениями две полуоси

Седло и смешанную особую точку можно объединить в один тип особых точек, имеющих область отталкивания.

Замечание 1. Из сказанного выше следует, что для обобщения функции соответствия на характеристики, близкие к характеристике проходящей через особые точки, следует рассматривать только такие Со, которые проходят через точки, имеющие области отталкивания.

При обобщении теоремы В будем рассматривать только особые циклы.

Замечание 2. Среди особых точек необходимо отметить такие, в которых оканчиваются только две характеристики. Эти дуги, имеющие в особой точке общую касательную, дают такое же расположение кривых, как дуги характеристики, оканчивающиеся в обыкновенной точке. Ввиду этого такую точку будем называть полуособой

Две характеристики, оканчивающиеся в полуособой точке, которую можно предполагать совпадающей с началом координат, изображаются функцией имеющей при точку регулярности, алгебраическую точку или точку другой более сложной природы. Нетрудно привести примеры таких точек. Дифференциальное уравнение

в полярных координатах имеет общий интеграл

Две характеристики, проходящие через полуособую точку это две полуоси

Для уравнения

имеющего общий интеграл две дуги характеристики, оканчивающиеся в задаются уравнением

Для уравнения

только две дуги характеристики оканчиваются в начале координат, каждая из них касается ветви параболы и они не могут быть представлены функцией, голоморфной или алгебраической при Действительно, уравнение (5) заменой переменного

приводится к виду

Через точку этого уравнения проходят характеристики причем функция при не будет голоморфной, ни алгебраической.