§ 17. Структура общего интеграла в случае иррационального «лямбда»

Различные формы, которые можно придать уравнению (15), позволяют установить свойства разложения общего интеграла этого уравнения, а также вид членов в этих разложениях.

Как было показано, уравнение

имеет общий интеграл

такой, что Если сделать замену переменного, указанную в § 12:

то уравнение (39) приводится к виду

и имеет общий интеграл

Если в заменить на то получим функцию К(х, у), которая, будучи приравнена к постоянной, даст общий интеграл (39). Пусть

— значение, которое принимает этот интеграл при Функция определяемая соотношением

будет иметь вид

где постоянные. Из способа построения функции следует, что она представляет собой интеграл (39), равный у при Следовательно, отсюда вытекают следующие свойства: 1) члены в разложении содержащие у в степени, меньшей чем получаются, если в разложении взять только одно слагаемое и заменить в на где

есть сумма первых членов ряда функции ряды по целым степеням Кроме того, из ряда (41) нужно взять только первые слагаемых. Члены в разложении содержащие у в степени не выше тождественны с соответствующими членами выражения

Вследствие этого при коэффициент будет полиномом по степени не выше Коэффициенты этого полинома — ряды по целым степеням Число может быть взято каким угодно, и, следовательно, это справедливо при любом Функции полиномы по степени не выше к и коэффициенты этих полиномов — ряды по целым степеням

2) выделим в члены, в которые перёмемоз входит с показателем степени, не превосходящим а. Предположим, что выбраны так, что

Искомые члены можно получить из (41); для этого нужно рассмотреть слагаемые, содержащие К в степени не выше и заменить К на Выражение

где есть ряды по целым степеням у, обозначает сумму членов Их, которые не имеют множителя Очевидно, что совокупность рассматриваемых членов имеет вид полинома по коэффициенты которого ряды по целым степеням у. Поэтому можно написать

где имеет разложение, аналогичное Функция ограничена при Более того, она стремится к нулю при стремящемся к нулю. Действительно, члены, которые остаются в выражении после выделения части, входящей в содержат множитель в степени выше а, и частное от деления их на остается конечным в рассматриваемой области, поскольку они выражаются рядами, сходящимися в этой области. Такое же заключение можно сделать и в отношении членов получающихся из Эти члены содержат множителем и послб деления на стремятся к нулю вместе с поскольку Число о может быть сделано как угодно большим, откуда следует, что как функция переменного полурегулярна при (см. § 10).