§ 23. Исследование функции соответствий между t и tn

Найдем зависимость между непосредственно из равенства (49), воспользовавшись соотношениями (50) и (51).

Заменяя в первом из уравнений (49) его значением из второго уравнения, получим

Выразив также через будем иметь

и, продолжая далее, получим, наконец, соотношение

Согласно сказанному в § 10 все функции полурегулярны при Это свойство выполняется при поскольку каждый раз в полурегулярную функцию подставляем полурегулярную.

Основное соотношение доказанное в § 19 и положенное в основу наших рассуждений, справедливо при и 1. Последовательные подстановки, которые приводят к формуле (54), уменьшают интервал изменения но не могут свести его к нулю. Существует положительное такое, что равенство (54) будет справедливо для Все большее усложнение функции по мере уменьшения индекса не может изменить, природу функции в проводимых рассуждениях. Действительно, по определению полурегулярных функций можно каким угодно способом расположить члены функции по возрастающим степеням отыскивая в начале слагаемые, порядок которых не выше единиц, затем слагаемые, порядок малости которых не выше двух, и т. д. Легко найти выражение Положим

Члены содержат только степени и где принимает два значения: Если или рациональные числа, то к этим слагаемым

необходимо добавить еще степени Таким образом, установлено, что при содержит только степени и может быть, еще где принимает значения

Покапаем, что содержит только степени может быть, принимает значения

Действительно, принимая за имеем

Заменяя в (57) в его выражением из (58), получим

Рассмотрим выражение , которое входит в для значений заданных равенствами (55). Величина зависит от и содержит только степени для Значения задаются формулами (56). Содержащиеся в (57) члены с и слагаемые с в (58) легко переводятся в члены в

Используя соотношения (54), можно определить те случаи, когда кривые близкие к , будут циклами. Для этого необходимо и достаточно, чтобы снова получаем два условия (53), найденные ранее.

Если эти условия выполнены, то необходимо и достаточно, чтобы, кроме того,

Покажем, что если то существует положительное число такое, что уравнение (59) не имеет ни одного корня между и

Функция полурегулярная при Поэтому можно найти такое целое число а, что

где полином, не равный тождественно нулю, имеющий порядок малости по выше , но не выше .

Функция стремится к нулю при стремящемся к нулю. Выберем среди конечного числа членов те, порядок малости которых наивысший. Эти члены можно написать в виде где В — отличная от пуля постоянная, а в более сложных случаях полином по Следовательно, В имеет вид Поделив равенство (59) на получим

где стремится к нулю при стремящемся к нулю. Это уравнение не имеет корней, близких к нулю. Из проведенных рассуждений можно заключить:

В окрестности всегда существует кольцевая область А, ограниченная с одной стороны циклом так, что в ней возможен только один из следующих случаев:

1. В области А нет ни одной замкнутой характеристики.

2. Все характеристики, проходящие в -циклы,