§ 37. Дикритическая точка

Рассмотрим вначале случай, когда есть дикритическая точка, т. е. такая особая точка уравнения (108), для которой выражение

тождественно равно нулю. Обозначим через Р(х, у) однородный полином степени Уравнение (108) в этом случае можно записать в виде

где однородные полиномы степени

Положим тогда вдоль каждой характеристики, оканчивающейся в начале координат с касательной, отличной от оси переменная должна стремиться к конечному пределу. Этой заменой уравнение (110) преобразуется к виду

где функции имеют множитель Обозначим через характеристику уравнения (111) и С — соответствующую ей характеристику уравнения (110),

Если для выполнены условия

то направление прямой назовем особым направлением. Характеристике С в плоскости касающейся этого направления, соответствует характеристика проходящая через особую точку в плоскости Оставим этот случай в стороне.

Будем предполагать, что а не удовлетворяет обоим уравнениям (112). В таком случае через точку проходит единственная характеристика . Ей соответствует определенная характеристика С, проходящая через точку в направлении Если то ни ни С не представляют никакого интереса для дальнейшего. Допустим, что есть корень кратности 1 уравнения Полагая из уравнения (111) находим

где а — постоянная, отличная от нуля, и стремится к нулю при стремящемся к нулю. Следовательно,

Если четное, то характеристика представляемая уравнениями

пересекает ось в точке Соответствующая ей характеристика С касается прямой в точке имея в этой точке такое же расположение, как у обыкновенной кривой в регулярной точке. Если нечетное, кривая касается оси не пересекая ее в точке Характеристика С имеет в начале координат точку возврата.

Чтобы получить характеристики С, которые касаются оси в точке полагаем и рассмотрим характеристику дифференциального уравнения

проходящую через особую точку Если то направление особое для дикритической точки.

Во всех других случаях будем иметь единственную характеристику, проходящую через точку Ей соответствует характеристика С, проходящая через точку касающаяся оси

Если корень нечетной кратности уравнения то кривая в точке касается оси не пересекая ее в этой точке. Соответствующая кривая С имеет в точку возврата с касательной

Направление, удовлетворяющее одновременно двум уравнениям

назовем особым. Неособое направление, получающееся приравниванием нулю линейного множителя нечетного порядка многочлена назовем необычным. Тогда полученные выше результаты можно сформулировать следующим образом. Существует одна, и только одна характеристика С, касающаяся в дикритической точке каждого недсобого направления это направление является необычным, в зголе и только в этом случае точка будет точкой возврата первого рода для характеристики С.

Замечание. Область примыкающая к точке заключенная меоюду двумя ветвями характеристики С, имеющей в точку возврата, будет областью отталкивания для дикритической точки,

Действительно, рассмотрим случай, когда касательная в точке возврата отлична от оси (это всегда можно предположить); тогда характеристика соответствующая С в плоскости переменных не пересекает ось в окрестности Предположим для определенности, что она остается справа от Характеристики близкие к и расположенные справа от не пересекают прямой Преобразование переводит их в характеристики близкие к С, расположенные в области для них не могут одновременно стремиться к нулю, поскольку при обходе переменное не может обращаться в нуль.