ЧАСТЬ 3. ЦИКЛЫ, ПРОХОДЯЩИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ОСОБЫХ ТОЧЕК

§ 36. Метод исследования

Рассмотрим сложную особую точку Перенеся начало координат в нее, запишем дифференциальное уравнение в виде

где однородные полиномы степени по переменным полиномы или ряды, начинающиеся с членов степени не ниже Предположим, что многочлены не могут одновременно тождественно обращаться в нуль. Такую особую точку назовем особой точкой порядка Заметим, что если то особая точка не обязательно будет простой.

Для изучения характеристик, близких к особому циклу, проходящему через сложную особую точку, необходимо провести исследования сепаратрис, примыкающих к этой особой точке. Согласно изложенному в § 3 сепаратрисы могут существовать при условии, что вообще есть характеристики, оканчивающиеся в с определенной касательной. В этом случае все характеристики, оканчивающиеся в имеют в ней касательную. Поэтому целесообразно начать исследование с характеристик, оканчивающихся в с определенной касательной. Применяемый для этой цели метод состоит в том, что делают замены переменных, приводящие дифференциальное уравнение к простейшей форме, т. е. к

виду уравнения, имеющего в начале координат простую особую точку (§ 6). С помощью этого метода непосредственно выводятся необходимые и достаточные условия того, чтобы сложная особая точка была центром или фокусом. Для того чтобы облегчить рассуждения, будем применять наиболее простые замены переменных, позволяющие, однако, изучить сепаратрисы.

Все эти предварительные исследования дают возможность наиболее простым способом построить функции соответствия для характеристик, проходящих в окрестности точки Эту функцию соответствия построим вначале для одного случая, который впоследствии будет полезен при переходе к общему случаю. В заключение получим, что прохождение характеристики в окрестности сложной особой точки эквивалентно (в смысле функции соответствия) прохождению характеристики в окрестности нескольких простых особых точек,