ГЛАВА VIII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА

§ 62. Специальная теория относительности

В § 6 было отмечено, что ньютоновская механика справедлива только для тел, движущихся со скоростями, много меньшими скорости света в пустоте (эту скорость принято обозначать буквой с). Для описания движений, совершающихся со скоростями, сравнимыми с с, Эйнштейн создал релятивистскую механику, т. е. механику, учитывающую требования специальной теории относительности.

Созданная Эйнштейном в 1905 г. специальная теория относительности представляет собой физическую теорию пространства и времени. Основу этой теории образуют два постулата, которые носят названия принципа относительности Эйнштейна и принципа постоянства скорости света.

Принцип относительности Эйнштейна является распространением механического принципа Галилея (см. § 12) на все без исключения физические явления. Согласно этому принципу все законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Неизменность вида уравнения при замене в нем координат и времени одной системы отсчета координатами и временем другой системы называется инвариантностью уравнения. Поэтому принцип относительности можно сформулировать следующим образом: уравнения, выражающие законы природы, инвариантны по отношению к преобразованиям координат и времени от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Принцип постоянства скорости света утверждает, что скорость света в пустоте одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от движения источников и приемников света.

Из сформулированных выше постулатов вытекает ряд важных выводов, касающихся свойств пространства и времени. В ньютоновской механике пространство и время рассматривались независимо друг от друга. Ньютон считал, что существуют абсолютное пространство и абсолютное время. Абсолютное пространство определялось им как безотносительное к чему-либо внешнему вместилище вещей, остающееся всегда одинаковым и неподвижным. О времени

Рис. 62.1.

Ньютон писал: «Абсолютное, истинное или математическое время само по себе и в силу своей внутренней природы течет равномерно, безотносительно к чему-либо внешнему». В соответствии с этим считалось совершенно очевидным, что два события, одновременные в какой-либо системе отсчета, будут одновременными и во всех остальных системах отсчета. Однако легко убедиться в том, что последнее утверждение находится в противоречии с принципом постоянства скорости света.

Возьмем два тела К и К, образующих вместе с соответствующими часами инерциальные системы отсчета. Пусть тело К движется относительно тела К со скоростью направленной вдоль прямой, проходящей через центры тел (рис. 62.1). Поместим на этой прямой два тела М и N, равноудаленных от тела К и соединенных с ним жестко. Относительно тела К эти тела движутся со скоростью относительно тела К они покоятся. Рассмотрим в обеих системах один и тот же процесс, заключающийся в испускании из центра тела К светового сигнала и достижении этим сигналом тел М и N. Скорость света во всех направлениях одинакова и равна с. Поэтому в системе отсчета К сигнал будет достигать тел М и N в одни и тот же момент времени

В системе отсчета К свет также распространяется по всем направлениям со скоростью с. В этой системе тело М движется навстречу световому сигналу. Тело N движется в ту же сторону, что и сигнал. Поэтому тела М сигнал достигнет раньше, чем тела N, и, следовательно, Таким образом, события, которые в системе К были одновременными, в системе К оказываются неодновременными. Отсюда вытекает, что время в разных системах отсчета течет неодинаково.

Чтобы описать событие в некоторой системе отсчета, нужно указать, в каком месте и в какой момент времени оно происходит. Эта задача окажется осуществимой, если создать в пространстве равноотстоящие координатные метки и совместить с каждой такой меткой часы, по которым можно было бы определить момент времени, в который происходит событие в данном месте.

Координатные метки можно нанести путем перекладывания единичного масштаба. В качестве часов можно взять любую систему, совершающую периодически повторяющийся процесс. Чтобы сравнивать моменты времени, в которые происходят два события в разных точках пространства, нужно убедиться в том, что часы, находящиеся в этих точках, идут синхронно.

Синхронизацию можно, казалось бы, выполнить, поместив часы сначала рядом, а затем, после сверки их показаний, перенести часы в соответствующие точки пространства. Однако такой способ нужно отвергнуть, так как мы не знаем, как повлияет на ход часов их перенос из одного места в другое. Поэтому нужно сначала расставить часы по местам и лишь затем произвести сверку их показаний. Это можно сделать, посылая от одних часов к другим световой сигнал. Пусть из точки А посылается в момент (отсчитанный по часам в А) световой сигнал, который отражается от зеркала, помещенного в точке В, и возвращается в А в момент Часы в В нужно считать синхронными с часами в А, если в момент дохождения до них сигнала часы в В показывали время t, равное Такую сверку необходимо проделать для всех часов, расположенных в разных точках системы К? События в А и В будут считаться одновременными в системе К, если соответствующие им отсчеты времени по часам в А и В совпадут.

Аналогично производится синхронизация всех часов в системе К и любой другой инерциальной системе отсчета. Скорость светового сигнала, с помощью которого осуществляется синхронизация, во всех инерциальных системах отсчета одна и та же. Этим и обусловлен выбор в качестве сигнала для синхронизации хода часов именно светового сигнала. Оказывается, что скорость света является предельной. Никакой сигнал, никакое воздействие одного тела на другое не могут распространяться со скоростью, превышающей скорость света в пустоте. Этим и объясняется одинаковость скорости света в пустоте во всех системах отсчета. Согласно принципу относительности законы природы во всех инерциальных системах должны быть одинаковы. Тот факт, что скорость сигнала не может превышать предельного значения, есть также закон природы. Поэтому значение предельной скорости должно быть одинаково во всех системах отсчета.

Постоянство скорости света приводит к тому, что пространство и время оказываются взаимосвязанными, образуя единое пространство-время.

Эта взаимосвязь может быть представлена особенно отчетливо с помощью воображаемого четырехмерного пространства, по трем осям которого откладываются пространственные координаты х, у и z, а по четвертой оси — время t, точнее — пропорциональная временная координата имеющая ту же размерность, что и пространственные координаты.

Какое-либо событие (например, распад некоторой частицы) характеризуется местом, где оно произошло (координатами х, у, z), и временем t, когда оно произошло. Таким образом, событию отвечает в воображаемом четырехмерном пространстве точка с координатами Эту точку принято называть мировой точкой. Всякой частице (даже неподвижной) соответствует в четырехмерном пространстве некоторая линия, называемая мировой линией (для покоящейся частицы она имеет вид прямой линии, параллельной оси ).

Итак, пространство и время являются частями единого целого. Однако время качественно отличается от пространства. Это проявляется в том, что воображаемое четырехмерное пространство отличается по своим свойствам от обычного трехмерного пространства. Обычное пространство обладает так называемой евклидовой метрикой. Это означает, что квадрат расстояния между двумя точками равен сумме квадратов разностей координат:

Квадрат «расстояния» между двумя мировыми точками (это «расстояние» называют интервалом и обозначают символом ) определяется формулой

(свойства интервала рассматриваются в § 65).

Пространства, для которых квадрат расстояния определяется формулой вида (62.1), называются псевдоевклидовыми. Качественное различие между временем и пространством проявляется в том, что квадрат временной координаты и квадраты пространственных координат входят в выражение (62.1) с разными знаками.

В специальной теории относительности особую роль играют величины, являющиеся инвариантными по отношению к преобразованиям координат и времени от одной инерциальной системы отсчета к другой (иными словами, величины, имеющие одинаковое числовое значение во всех инерциальных системах отсчета). Одну из таких величин мы уже знаем — это скорость света в пустоте. В § 65 мы покажем, что определяемый формулой (62.1) интервал также является инвариантом.

Особую роль играют также формулы и соотношения, инвариантные по отношению к указанным выше преобразованиям (т. е. имеющие одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета).

Например, релятивистские выражения для импульса и энергии определяются таким образом, чтобы законы сохранения этих величин не нарушались при переходе к другой инерциальной системе отсчета. В ходе дальнейшего изложения мы познакомимся с рядом инвариантных величин и соотношений.