7.11. Оценка энергетического спектра

В разд. 7.2.6 энергетический спектр последовательности имеющей был определен как последовательность

Использование этого энергетического спектра для представления бесконечных временных последовательностей имеет недостаток, кратко рассмотренный в разд. 7.4. Он связан с тем, что спектр рассчитывается лишь по конечному массиву данных. Однако стало уже общепринятым рассматривать сглаженный (усредненный) по времени энергетический спектр.

Полезно указать цели, которые мы ставим при оценке энергетического спектра. Будем исходить из того, что измеряемый спектр:

а) низкочастотный, т. е. расположен в главной полосе;

б) имеет заданное разрешение;

в) обладает заданной степенью статистической устойчивости.

Первое из этих условий вполне обоснованно, поскольку любой спектр, расположенный вне главной полосы (его обычно называют полосовым), можно привести к низкочастотному, применяя подходящие частотные преобразования. Далее, секционирование длин ной записи с целью выполнения ДПФ, которое необходимо для расчета , следовательно, приводит к появлению ложных спектральных составляющих. Секционирование эквивалентно умножению исходной временной последовательности (фиг. 7.26, а) на прямоугольное «окно» (фиг. 7.26, б), пропускающее только отсчетов (фиг. 7.26, в). Следовательно «истинный» спектр временной последовательности свертывается с преобразованием Фурье от прямоугольной функции. В результате рассчитанный спектр может быть лишь аппроксимацией истинного, (фиг. 7.26, г).

Нежелательный эффект секционирования можно ослабить, если вместо прямоугольного использовать другое временное окно. Главное требование при этом состоит в том, чтобы на концах выделяемой секции окно не имело разрывов. Примером используемой в спектральном анализе функции окна, имеющей простую форму записи и удобной в использовании, является

Фиг. 7.26. Появление ложных высокочастотных составляющих спектра при секционировании. а — бесконечная последовательность данных; б — прямоугольное окно; в — отрезок, взятый из исходной последовательности; периодическое продолжение отрезка.

Можно показать, что умножение на эту функцию соответствует интерполяции спектральных составляющих по формуле

Таким образом, вместо получим

причем

Второе условие, состоящее в том, что энергетический спектр должен иметь заданное разрешение, можно понимать следующим образом. Имеется дискретизованная функция с периодом дискретизации, выбранным согласно теореме отсчетов. Тогда в соответствии с этой теоремой анализу должны подлежать массивы последовательных отсчетов функции. Последовательность из отсчетов будет иметь длительность секунда может быть использована для вычисления спектра с разрешением по частоте Гц. Поскольку Т фиксировано, то, выбирая можно получить нужное разрешение.

Третье условие, касающееся статистической устойчивости, связано с тем, что анализируются отрезки данных длиной взятых из одной исходно последовательности Статистическая устойчивость является самостоятельным критерием по отношению

к разрешению и секционированию. Один из простых способов добиться устойчивости состоит в усреднении нескольких спектров, полученных для последовательных -точечных отрезков исходной последовательности. Такая операция иллюстрируется на фиг. 7.27.

Фиг. 7.27. Сглаживание энергетического спектра. а, б, в, г — энергетические спектры, полученные соответственно для I, 2. 3 и 4-го отрезков временной последовательности.

Фиг. 7.28. Программа для вычисления энергетического спектра и автокорреляционной функции действительных временных рядов. (см. скан)

Длинная последовательность разбивается на смежные -точечные отрезки, и для каждого из них вычисляется энергетический спектр. По мере увеличения числа усредняемых спектров спектральные составляющие все меньше отличаются от, «идеальных» значений, которые были бы получены при бесконечном числе усредняемых спектров.

Следует отметить, что увеличение не приводит к более устойчивому спектру в смысле уменьшения дисперсии вычисленного спектра относительно «идеального» Это объясняется тем, что, хотя время анализа увеличивается при удлинении записи, количество вычисляемых спектральных составляющих возрастает.

Вопросами спектрального анализа занимался ряд исследователей; более глубокое их освещение можно найти в работах [9—11].

На фиг. 7.28 приведен текст простой подпрограммы которая позволяет эффективно вычислять энергетический спектр и автокорреляционную функцию действительных временных рядов последовательностей.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)