§ 8. Окружность девяти точек

Чтобы облегчить восприятие дальнейшего, мы уберем некоторые линии на рисунке 15 и добавим несколько других; в результате получим рисунок 16. Рассмотрим внимательно новый чертеж, на котором середины отрезков лежащих на высотах. Так как общая сторона двух треугольников и а точки являются серединами других их сторон соответственно, то отрезки и параллельны прямой (а их длины равны половине длины отрезка Аналогично, так как общая сторона двух треугольников и то оба отрезка и параллельны прямой (а их длины равны половине длины отрезка Следовательно, параллелограмм. Так как отрезки и перпендикулярны, то этот параллелограмм — прямоугольник. Аналогично, прямоугольник (как и Следовательно, являются тремя диаметрами окружности, как показано на рисунке 17.

Так как прямой, эта окружность (построенная на отрезке как на диаметре) проходит

через точку Точно также она проходит через точки Суммируя вышесказанное, получаем!

Рис. 16.

Теорема 1.81. Основания трех высот произволь ного треугольника, середины трех его сторон и середины трех отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат все на одной окружности радиуса .

Рис. 17.

Следуя Понселе, мы называем ее окружностью девяти точек этого треугольника. Так как три точки диаметрально противоположны точкам то каждый из двух треугольников

или может быть получен из другого поворотом На 180° вокруг центра этой окружности. Очевидно, что этот поворот, который меняет местами эти два конгруэнтных треугольника, должен также поменять местами и их ортоцентры Следовательно, центром окружности девяти точек является середина отрезка которую уже ранее мы обозначили через имея в виду ее будущую роль центра окружности девяти точек. Другими словами:

Теорема 1.82. Центр окружности девяти точек лежит на прямой Эйлера, точно в середине отрезка между ортоцентром и центром описанной окружности.

История этих двух теорем несколько запутана. Задача Бивана, опубликованная в английском журнале в 1804 году, по-видимому, указывает на то, что эти теоремы уже тогда были известны. Иногда они ошибочно приписываются Эйлеру, который уже в 1765 году доказав, что ортотреугольник и серединный треугольник имеют общую описанную окружность. И в самом деле, европейские авторы часто называют эту окружность «окружностью Эйлера». По-видимому, первое полное доказательство было опубликовано в 1821 году Понселе. К. Фейербах переоткрыл частичный результат Эйлера еще позже и добавил новое свойство, которое является настолько замечательным, что побуждает многих авторов называть окружность девяти точек «окружностью Фейербаха». Теорема Фейербаха (которую мы докажем в § 6 гл. 5) утверждает, что окружность девяти точек касается вписанной и всех вневписанных окружностей.

Упражнения

(см. скан)