§ 5. Теорема Штейнера — Лемуса

Существует ряд геометрических задач, которые околдовывают каждого, кто по воле случая сталкивается с ними. По-видимому, это было характерно для геометрии даже в древнее время. Стоит только вспомнить три знаменитые задачи древности — удвоение куба, трисекцию угла и квадратуру круга. Попытки решить эти задачи привели к развитию новых ветвей математики. Даже сейчас существуют псевдоматематики, которые присылают в редакции «решения» этих

вадач и требуют публикации или доказательства ложности своих «решений».

Одна всегда возбуждавшая интерес теорема может быть сформулирована следующим образом:

Теорема 1.51. Любой треугольник, у которого равны длины биссектрис двух углов. (измеряемые от вершины до противоположной стороны), является равнобедренным.

Эта теорема была послана великому шведскому геометру Якобу Штейнеру в 1840 году С. Л. Лемусом (имя которого, если бы не этот случай, было бы давно забыто) с просьбой дать чисто геометрическое доказав тельство. Штейнер дал довольно сложное доказательство, которое вдохновило многих других на поиски более простых методов. Работы по теореме Штейнера — Лемуса появлялись в различных журналах в 1842, 1844, 1848 годах и почти каждый год с 1854 года по 1864 год, а также в большом количестве и в течение следующего столетия.

Одно из простейших доказательств опирается на следующие две леммы:

Лемма 1.511. Если две хорды окружности стягивают различные острые углы с вершинами на этой окружности, то меньшему углу соответствует меньшая хорда.

Доказательство. Две равные хорды стягивают равные углы с вершиной в центре окружности и равные углы (как их половины) с вершинами в соответствующих точках на окружности. Из двух неравных хорд более короткая, находясь дальше от центра, стягивает меньший угол с вершиной в центре и, следовательно, меньший острый угол с вершиной на окружности.

Лемма 1.512. В треугольнике с двумя различными углами меньший угол обладает большей биссектрисой ([22], стр. 72).

Доказательство. Пусть треугольник, в котором как на рисунке 13; пусть отрезки и делят пополам углы Мы хотим доказать, что Возьмем точку на отрезке так, чтобы Так как этот угол

равен углу то четыре точки лежат на одной окружности. Поскольку

то

По лемме Следовательно,

Доказательство теоремы. Часто случается, что теорема может быть выражена в форме «противоположной к обратной» — эквивалентной первоначальной. Например, вместо того, чтобы сказать: «Все люди смертны», мы можем также сказать «Бессмертные не есть люди». Вместо доказательства самой теоремы 1.51 для нас будет достаточно доказать, что если в треугольнике то Но это есть прямое следствие леммы 1.512.

Рис. 13.

Вышеприведенное доказательство этой леммы имеет занятную историю. Оно было придумано двумя английскими инженерами Г. Джильбертом и Д. Мак-Доннеллом и опубликовано в American Mathematical Monthly 7 (1963), стр. 79—80, со следующим редакционным примечанием:

«Мартин Гарднер в своем обзоре книги Коксетера «Введение в геометрию» (Scientific American 204 (1961), стр. 166—168) описал эту знаменитую теорему столь интересно, что сотни читателей прислали ему свои доказательства. Он взял на себя труд по обработке этого громадного материала и совершенствовал его до тех пор, пока не заблистала, очищенная от наслоений, жемчужина, которую мы приводим здесь.»

Некоторые читатели могут испытать чувство неудовлетворенности потому, что доказательство Джильберта и Мак-Доннелла, подобно большинству других (например, [22], стр. 73 [17], стр. 32), является косвенным: вместо самой теоремы Штейнера — Лемуса они доказывают теорему, противоположную к обратной (лемма 1.512). Было предложено несколько якобы прямых доказательств (например, [17], стр. 589 и [42], стр. 31, 249); но каждое из них в действительности является в скрытой форме косвенным. Это несложно понять, если вспомнить, что практически только самые элементарные теоремы доказываются полностью. Все остальные доказываются с помощью других, уже известных теорем, которые выстраиваются в ряд, ведущий к аксиомам. Нельзя, строго говоря, утверждать, что некое доказательство — прямое, если хоть одна из этих вспомогательных теорем имеет косвенное доказательство. Более того, некоторые из самых простых и самых основных теорем имеют косвенные доказательства; следовательно, если бы мы настаивали на абсолютно прямом доказательстве, то существующее великое множество теорем свелось бы к небольшому числу тривиальных. Стоит ли об этом сожалеть? Великий английский математик Г. Харди говорил по этому поводу ([40], стр. 34):

«Reductio ad absurdum, столь любимое Евклидом, является тончайшим инструментом математика. Оно является намного более тонким гамбитом, чем любой шахматный гамбит: шахматист может предложить в жертву пешку или другую фигуру, а математик предлагает в жертву всю игру.»

Упражнения

(см. скан)