§ 9. Генеалогия преобразований

Существенной особенностью всех рассмотренных нами преобразований является тот факт, что они отображают взаимно однозначно всю плоскость на себя. Среди них мы рассмотрели только непрерывные преобразования (или «гомеоморфизмы»), т.е. преобразования, переводящие близкие точки в близкие точки. Среди непрерывных преобразований (которые, в некотором смысле, являются предметом рассмотрения книги О. Оре [28]) мы обсудили линейные преобразования, которые сохраняют коллинеарность точек и, следовательно, переводят параллельные прямые в параллельные прямые. Среди линейных преобразований мы рассмотрели подобия, которые сохраняют отношения расстояний, но мы не касались их более причудливых видов, таких, как прокрустово растяжение (которое переводит окружность в эллипс той же площади). Частными случаями подобий, которые мы рассмотрели, являются изометрия, сохраняющая расстояния,

дилатация, переводящая каждую прямую в параллельную ей прямую, и спиральное подобие, которое (так же как и во многих случаях изометрии и дилатации) оставляет одну точку неподвижной и сохраняет знак поворота (по движению часовой стрелки или против ее движения). Эти категории частично перекрываются: среди изометрнй мы рассмотрели симметрии, параллельные переносы (которые являются дилатациями согласно вышеприведенному определению) и повороты (которые являются спиральными подобиями с коэффициентом растяжения 1). Оставшимся видом дилатации является центральная дилатация или гомотетия (которая является спиральным подобием с нулевым вращением). И, наконец, разворот является как поворотом (на 180°), так и гомотетией. Все эти связи могут быть сведены воедино в генеалогическом дереве, где каждый «ребенок» является частным случаем своего «родителя»

(см. скан)

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)