Глава 5. ВВЕДЕНИЕ В ИНВЕРСИВНУЮ ГЕОМЕТРИЮ

До сих пор мы рассматривали лишь взаимно однозначные преобразования всей евклидовой плоскости. В настоящей главе это ограничение будет в значительной степени ослаблено — мы позволим одной из точек, — точке О,— не иметь образа. Точнее, рассматриваемые преобразования будут состоять в том, что мы фиксируем окружность с центром в точке О и «выворачиваем» через нее плоскость. При этом происходит следующее: все окружности, проходящие через точку О, преобразуются в прямые, а остальные окружности— вновь в окружности (а более сложные фигуры претерпевают радикальные изменения формы). Использование такого преобразования часто упрощает решения многих задач, в которых фигурируют прямые и окружности.

§ 1. Разбиение

Рассмотрим теорему, которая настолько интересна, что была включена в 1965 году в число вопросов на известном американском конкурсе по решению задач «William Lowell Putnam Competition». Предлагаемое нами доказательство этой теоремы является квинтэссенцией представленных решений.

Теорема 5.11. Если четыре точки А, В, С, D не все лежат на одной окружности или прямой, то

существуют две непересекающиеся окружности, одна из которых проходит через точки а другая — через точки

Прежде всего отметим, что если серединный перпендикуляр отрезка серединный перпендикуляр отрезка то они не могут совпасть. В том случае, когда прямые пересекаются (как на рисунке 96), их общая точка О является центром двух концентрических окружностей, одна из которых проходит через точки а другая — через точки Если же прямые параллельны (как на рисунке 97), то также параллельны и прямые и

Рис. 96.

Рис. 97.

Рассмотрим точки на прямых (соответственно), лежащие строго посередине между параллельными прямыми и Очевидно, что окружности и не имеют общих точек.

Говорят, что две различные пары точек разбивают друг друга, если все точки лежат на одной окружности (или прямой), притом так, что на каждой из дуг (или отрезке лежит ровно одна из двух оставшихся точек Это соотношение мы будем обозначать

Заметим, что с тем же успехом мы сможем записать это соотношение еще семью другими способами, например, или

Если две пары точек лежащие на одной прямой или окружности, не разбивают друг друга, то легко построить две непересекающиеся окружности, одна из которых проходит через точки

а другая — через точки . В том случае, когда точки коллинеарны (рис. 98), мы воспользуемся окружностями, построенными на отрезках и как на диаметрах. В случае же, когда точки лежат на одной окружности (рис. 99), мы можем принять в качестве их центров точки пересечения касательных в точках а также

Если, с другой стороны, то любая окружность, проходящая через точки но не проходящая через точку В, «разбивает» точки в том смысле, что одна из этих точек лежит внутри этой окружности, а другая — вне ее. Поэтому данная окружность, проходящая через точки пересекает каждую окружность, проходящую через точки

Рис. 98.

Рис. 99.

Теорема 5.11, записанная в форме противоположной обратной, утверждает, что если каждая окружность, преходящая через две заданные точки, имеет по крайней мере две общие точки с каждой окружностью, проходящей через две другие данные точки, то эти четыре точки должны лежать либо на одной прямой (рис. 100), либо на одной окружности (рис. 101). Очевидно, при этом указанные пары точек разбиваютдруг друга. Это замечание позволяет нам определить разбиение другим способом — симметричным и не использующим принадлежность этих четырех точек прямой или окружности.

Говорят, что две различные пары точек разбивают друг друга, если любая окружность, проходящая через точки пересекает любую окружность, проходящую через точки (или совпадают с ней).

В действительности, существует и третий способ определения понятия разбиения вообще без упоминания окружностей:

Теорема 5.12. Попарные расстояния между четырьмя различными точками А, В, С, D удовлетворяют соотношению

причем равенство возможно только тогда, когда

Хотя для того, чтобы понять это доказательство, требуется внимательно следить за его ходом, оно довольно интересно.

Рис. 100.

Рис. 101.

Рассмотрим случай, когда все четыре точки лежат на одной прямой и, следовательно, мы можем временно вновь использовать обозначения для направленных отрезков (положительных или отрицательных, как в § 1 гл. 2). Обозначим

тогда

и мы имеем

Если (как на рисунке 101), то на отрезке лежит ровно одна из двух точек В или поэтому отношения АВ/ВС и имеют противоположные знаки, так же и произведения и имеют противоположные знаки, а произведения и имеют одинаковые знаки.

Следовательно, соотношение (5.121) будет выполнено и в том случае, если выражения мы будем понимать как обычные положительные длины отрезков. Если же, с другой стороны, точки не разбивают точек Вий (см. рис. 98), то эквивалентные утверждения меняются на обратные, например: имеют противоположные знаки. Теперь, если использовать лишь положительные длины, то соотношение (5.121) означает, что положительное число равно разности между двумя положительными числами . А так как их сумма больше их разности, из этого следует, что

На этом заканчивается доказательство теоремы 5.12 для случая коллинеарных точек.

И, наконец, если эти четыре точки не лежат на одной прямой, то некоторые три из них должны образовывать треугольник, и мы можем переобозначить их необходимо) так, чтобы этот треугольник ймел обозначение а оставшаяся точка (возможно, лежащая на одной из сторон этого треугольника) — Теперь мы видим, что теорема 5.12 есть следствие теоремы Птолемея (2.61) и ее обратной (2.62), которая утверждает, что попарные расстояния между четырьмя точками (первые три из которых образуют треугольник) удовлетворяют соотношению

(знак равенства появляется только тогда, когда вписанный четырехугольник с диагоналями и

Упражнение

1. Запишите все восемь соотношений, эквивалентных соотношению