§ 9. Теорема Брианшона

Ш. Ж. Брианшон (1760—1854) открыл интересную теорему (в некотором смысле связанную с теоремой Паскаля) о свойстве шестиугольника, описанного вокруг конического сечения. Доказательство Брианшона использует «двойственность» точек и прямых, характерную для проективной геометрии. Однако случай, когда коническое сечение является окружностью, был вызовом математикам на поиски для него евклидовского доказательства. На этот вызов успешно ответил А. С. Смогоржевский ([34], стр. 28). Для понимания его доказательства необходима следующая лемма:

Пусть к окружности в точках проведены касательные и пусть точки лежат на этих касательных (соответственно) по одну сторону от прямой так что Тогда существует окружность, касающаяся прямых и в точках соответственно.

Рис. 66.

Действительно, фигура, изображенная на рисунке 66, симметрична относительно серединного перпендикуляра к отрезку являющегося также серединным перпендикуляром к отрезку а кроме того, и диаметром данной окружности. Перпендикуляры к отрезкам и в точках пересекают эту «среднюю линию» — ось симметрии — в одной и той же точке, которая является центром искомой окружности.

Теперь мы можем перейти к доказательству Смогоржевского:

Теорема 3.91. Если все шесть сторон шестиугольника касаются окружности, то три его диагонали конкурентны (или параллельны).

Пусть точки касания шести касательных как на рисунке 67.

Рис. 67.

Для простоты предположим, что шестиугольник выпуклый, тогда все его три диагонали являются секущими вписанной окружности (и исключается возможность их параллельности). На прямых (продолженных) возьмем точки так, что

(длина этих отрезков может иметь любое удобное значение) и построим окружность I (касающуюся прямых и в точках окружность II (касающуюся прямых и в точках и окружность III (касающуюся прямых и в точках в соответствии с леммой.

Теперь мы используем тот известный факт, что две касательные к окружности, проведенные из одной точки, имеют равные длины. Так как то, сложив их, мы получаем Так как то, вычитая, мы получаем Таким образом, точки имеют равные степени (§ 2 гл. 2) относительно окружностей II и III, а соединяющая их прямая совпадает с радикальной осью этих двух окружностей. Аналогично, отрезок лёжит на радикальной "оси окружностей I и II, а отрезок лежит на радикальной оси окружностей III и Как мы видели в § 3 гл. 2, радикальные оси трех несоосных окружностей, взятых попарно, конкурентны (или параллельны). Мы представили диагонали нашего шестиугольника в качестве радикальных осей трех окружностей. Так как эти диагонали, очевидно, не могут совпасть, то эти окружности не являются соосными, и доказательство закончено.

Обратная теорема, относящаяся к проективной геометрии, формулируется следующим образом ([19], стр. 83).

Если три диагонали шестиугольника конкурентны, то шесть его сторон касаются конического сечения, которое может вырождаться в пару точек (подобную паре точек для шестиугольника в упражнении 2 § 5).

Если позволить сторонам сливаться, при этом внимательно следя за тем, чтобы сохранились их обозначения, то мы сможем вывести несколько интересных теорем о пятиугольниках и четырехугольниках, описанных вокруг окружности. В таких случаях общая вершина двух совпадающих сторон становится их точкой касания с окружностью (или коническим сечением).

Рассмотрим, например, пятиугольник описанный вокруг окружности (как показано на рисунке 68). Считая, что он является вырождением шестиугольника с «развернутым углом» в точке мы можем применить теорему Брианшона, утверждение которой будет состоять в том, что точка касания стороны пятиугольника описанного

вокруг окружности, лежит на отрезке, соединяющем точку С с точкой пересечения

Подобным же образом, четырехугольник описанный вокруг окружности, стороны которого и касаются окружности в точках можно рассматривать как вырожденный шестиугольник (рис. 69).

Рис. 68.

Рис. 69.

В результате этого мы приходим к выводу, что диагонали и четырехугольника пересекают на прямой которая соединяет точки касания сторон и с окружностью.

Упражнения

(см. скан)