§ 7. Соосные окружности

В § 3 гл. 2 мы установили, что любые две неконцентрические окружности определяют «пучок» соосных окружностей, обладающих тем свойством, что радикальная ось окружностей является радикальной осью и для любой пары окружностей, принадлежащих этому семейству. При этом любая точка на радикальной оси имеет одну и ту же степень относительно всех окружностей этого пучка. В тех случаях, когда она положительна, квадратный корень из нее равен длине касательной от точки до любой из этих окружностей. Этот отрезок может рассматриваться как радиус окружности с центром в точке ортогональной ко всем этим окружностям. Любые две из таких окружностей, назовем их (ортогональные ко всем окружностям пучка принадлежат пучку двойственному к первоначальному, такому, что каждая окружность одного пучка ортогональна к любой окружности из другого пучка. Каждый пучок содержит в качестве одного из своих элементов прямую, являющуюся, с одной стороны, радикальной осью окружностей этого пучка, а с другой стороны, — линией центров окружностей второго пучка. Разумеется, эти две прямые перпендикулярны. Если использовать эти прямые в качестве координатных осей, как в § 3 гл. 2, то эти окружности могут быть заданы уравнениями

где число с фиксировано, а числа могут изменяться. Если то первый пучок состоит из непересекающихся окружностей, как на рисунке 30, а второй — из пересекающихся окружностей, проходящих через граничные точки которые могут рассматриваться как вырожденные элементы

первого пучка. Если же то мы получим то же самое расположение окружностей, лишь повернутое на прямой угол вокруг начала координат; при этом первый пучок будет состоять из пересекающихся, а второй из непересекающихся окружностей.

Наконец, если то мы получим два ортогональных пучка касающихся окружностей, причем все они будут касаться своих осей в начале координат.

Элементы пучка непересекающихся соосньгх окружностей располагаются в естественном порядке, определяемым порядком точек, в которых они пересекают отрезок, соединяющий граничные точки. Этот порядок позволяет нам точно указать, какой из трех элементов лежит «между» двумя другими.

Мы можем описать пучок как состоящий из всех окружностей, ортогональных к окружностям и пучок как состоящий из всех окружностей, ортогональных к окружностям

Рис. 111.

Другими словами, пучок состоит из всех окружностей, ортогональных любым двум различным окружностям, которые ортогональны к окружностям

Если точки общие точки двух пересекающихся окружностей у и то инверсия относительно любой окружности с центром в точке О переводит эти окружности в прямые, проходящие через точку образ точки При этом окружности, ортогональные к этим прямым, образуют «пучок» концентрических окружностей с центром в точке а пучок переходит в совокупность диаметров этих концентрических окружностей. Такая же картина может быть получена из любых двух непересекающихся окружностей Действительно, мы можем легко найти (рис. 111) две

пересекающиеся окружности ортогональные одновременно к окружностям а именно, две окружности соответствующих радиусов, центры которых лежат на радикальной оси окружностей Следовательно, справедлива

Теорема 5.71. Любые две непересекающиеся окружности могут быть переведены при помощи инверсии в две концентрические окружности.

Окружностью, относительно которой производится такая инверсия, может быть любая окружность с центром в любой из граничных точек (О или непересекающегося пучка Если окружность а предшествует окружности в естественном порядке от точки О к точке то любая окружность с центром в точке О (или будет переходить при инверсии относительно окружности а в большую (или меньшую) из концентрических окружностей. Если мы изменим радиус окружности инверсии, оставив на месте ее центр, то получим новую пару концентрических окружностей, отношение радиусов которых будет тем же, что и у предыдущей пары. Действительно, новая инверсия эквивалентна ранее рассмотренной инверсии с последующим применением подходящей дилатации. Проводя инверсию относительно окружности с центром в точке мы получим пару концентрических окружностей, отношение радиусов которых обратно отношению радиусов окружностей, полученных при инверсии относительно окружности с центром в точке О.

Если — любые две различные окружности, то образ окружности а при инверсии относительно окружности со принадлежит пучку Действительно, любые две окружности, одновременно ортогональные к окружностям переходят при этом в себя. Если окружность а переходит в окружность при инверсии относительно окружности то мы будем называть окружность со серединной окружностью окружностей Так как окружность принадлежит пучку то окружность со принадлежит пучку Теперь мы готовы доказать теорему, обратную теореме 5.45.

Теорема 5.72. Любые две окружности имеют по крайней мере одну серединную окружность. Две непересекающиеся или касающиеся окружности имеют, только одну серединную окружность.

Две пересекающиеся окружности имеют две серединные окружности, ортогональные друг к другу.

Если окружности пересекаются, то при помощи инверсии мы можем перевести их в пересекающиеся прямые, которые переводятся одна в другую симметрией относительно любой из биссектрис углов между ними. Окружности, которые переходят при инверсии в эти биссектрисы, и будут двумя искомыми серединными окружностями.

Если окружности касаются, то при инверсии они переходят в параллельные прямые. Поэтому такие окружности имеют одну-единственную серединную окружность.

Если окружности не пересекаются, то при инверсии они переходят в концентрические окружности, радиусы которых обозначим через Они переводятся одна в другую при инверсии относительно концентричной им окружности, радиус которой равен -среднему геометрическому радиусов этих окружностей. Окружность, которая переходит при инверсии в рассмотренную окружность радиуса и будет той единственной серединной окружностью данных окружностей

Заметим также, что если окружности конгруэнтны, то их серединная окружность совпадает с их радикальной осью.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)