§ 7. Дилатация

Преобразования, которые мы до сих пор рассматривали, объединяет то, что они переводят каждую фигуру в конгруэнтную ей фигуру. Всякое преобразование, которое обладает свойством сохранять расстояния, мы назовем изометрией.

Однако во многих случаях бывает полезным использование преобразования фигуры в подобную ей фигуру. Такое подобие сохраняет углы, но может изменять расстояния. При этом все расстояния увеличиваются (или уменьшаются) в одном и том же отношении, называемом коэффициентом подобия. Таким образом, любой отрезок переводится в отрезок длина которого равна

Коэффициент может быть как большим, так и равным или меньшим единицы. Подобие содержит, как частный случай, и изометрию, для которой

Эти рассуждения можно сделать более строгими, если определить подобие как преобразование, сохраняющее отношение расстояний, откуда следует, что при этом сохраняются углы, а прямые переходят в прямые.

Простейшим случаем подобия является дилатация, которая переводит каждую прямую в параллельную ей прямую. Любая дилатация, не являющаяся параллельным переносом, называется центральной дилатацией или гомотетией, потому что все прямые, соединяющие соответствующие точки фигуры и ее образа, пересекаются в одной точке. Чтобы убедиться в справедливости этого, рассмотрите рисунки 90 и 91, на которых соответствующие отрезки и (лежащие на параллельных прямых) удовлетворяют векторному соотношению

Для любой точки С, образующей вместе с точками треугольник, ее образ является точкой пересечения прямой, проходящей через точку А параллельно отрезку с прямой, проходящей через точку В параллельно отрезку

Рис. 90.

Рис. 91.

Если эта дилатация не является параллельным переносом, то прямые и не параллельны, а пересекаются в точке О, обладающей тем свойством, что либо

как на рисунке 90, либо

как на рисунке 91. Вспоминая, что параллельные прямые делят пересекающие их прямые на пропорциональные отрезки, мы можем легко сделать вывод, что точка С лежит на отрезке Действительно,

Передвигая точку О все дальше и дальше влево на рисунке 90, мы видим, что параллельный перенос является предельным случаем гомотетии когда коэффициент стремится к единице. Еще проще изменить рисунок 91 таким образом, чтобы точка О стала серединой отрезка Отсюда следует, что частным случаем гомотетии является центральная симметрия или разворот

при этом четырехугольник является параллелограммом с центром в точке О.

Упражнения

1. Определите множество середин отрезков, у которых один конец находится в заданной точке, а другой — на заданной окружности.

2. Постройте квадрат, две смежные вершины которого лежат на стороне остроугольного треугольника а две другие вершины — на сторонах и соответственно.