Глава 2. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ОКРУЖНОСТЕЙ

Во все века окружность пользовалась наивысшим уважением. Ее совершенная форма одинаково волновала как философов, так и астрономов. До открытия Кеплером его законов мысль о том, что планеты могли бы двигаться иначе, чем по круговым орбитам, была невероятной. В наши дни слова «квадрат», «прямая» и им подобные иногда имеют пренебрежительный оттенок, но слово «окружность» — никогда. Очищенное от суеверного вздора и псевдонауки, это слово и сейчас достойно уважения, как и всегда.

Из-за недостатка места мы смогли изложить лишь несколько самых интересных свойств окружности, обнаруженных после Евклида, которые связывают ее с треугольником и другими многоугольниками.

§ 1. Степень точки относительно окружности

Мы начинаем наши исследования с напоминания о двух теоремах Евклида: теореме о произведении длин частей, на которые две хорды круга делят друг друга (т.е. в обозначениях рисунка и теореме, сравнивающей секущую и касательную, проведенные из одной и той же точки вне круга (на рисунке Если мы договоримся рассматривать касательную как предельное положение секущей, то сможем соединить эти результаты следующим образом:

Теорема 2.11. Если две прямые, проходящие через точку пересекают окружность: одна — в точках (возможно совпадающих), а другая — в точках

(возможно совпадающих), то

Для доказательства достаточно заметить, что из подобия треугольников (с общим углом в точке рис. 23) следует, что

Рис. 23.

Рис. 24.

В случае, изображенном на рисунке 24, мы можем с тем же успехом использовать подобные треугольники и получая

а затем записать

Обозначим через радиус окружности и через расстояние от точки до центра окружности. Построив диаметр проходящий через точку (находящуюся дальше от точки В, чем от точки В), мы видим, что если точка находится внутри окружности (как на рис. 23), то

а если точка вне ее (как на рис. 24), то

Равенство

дает короткое доказательство формулы, принадлежа» щей Эйлеру:

Теорема 2.12. Пусть точки являются центрами (соответственно) описанной и вписанной окружностей треугольника, радиусы которых равны пусть есть расстояние Тогда

Рис. 25.

На рисунке 25 изображена внутренняя биссектриса угла А, продолженная до пересечения с описанной окружностью в точке являющейся серединой той дуги которая не содержит точку диаметр, перпендикулярный стороне Обозначая для удобства мы замечаем, что

Так как внешний угол треугольника в вершине I удовлетворяет соотношению:

то треугольник равнобедренный. Таким образом,

т.е. что мы и хотели доказать.

Для любой окружности радиуса и любой точки отстоящей на расстояние от центра, мы называем число

степенью точки относительно окружности. Эта степень является положительным числом, когда точка лежит вне окружности, нулем, когда точка лежит на окружности, и отрицательным числом, когда точка лежит внутри нее. Для первого из этих случаев мы уже получили выражение

где любые две точки на окружности, коллинеарные с точкой (как в теореме 2.11). Это выражение для степени точки останется справедливым для любого положения точки если мы согласимся принять ньютоновскую идею о направленных прямолинейных отрезках, как в одномерной векторной алгебре, в которой

Произведение (или отношение) двух направленных отрезков на одной прямой рассматривается как положительное или отрицательное число в зависимости от того, совпадают или не совпадают их направления. При таком соглашении равенство

выполняется во всех случаях. Если точка внутри окружности, то а если точка на окружности, то либо точка А, либо точка А совпадает с точкой поэтому один из этих отрезков имеет длину, равную нулю. С другой стороны, заметив, что произведение имеет одно и то же значение для любой секущей (или хорды), проходящей через точку мы могли бы использовать эту величину для определения степени точки относительно окружности.

Слово степень было впервые использовано в этом значении Якобом Штейнером, чье имя уже упоминалось в первой главе.

Упражнения

1. Какую наименьшую (алгебраически) величину может иметь степень точки относительно окружности данного радиуса Какая точка имеет эту экстремальную степень?

2. Каково множество точек, имеющих постоянную степень (большую, чем относительно данной окружности?

3. Пусть степень точки имеет положительное значение Дайте геометрическую интерпретацию длины

4. Если и касательные из точки к двум концентрическим окружностям, причем точка находится на меньшей из них, и если отрезок пересекает большую окружность в точке то

5. Радиус окружности, описанной вокруг треугольника, по крайней мере вдвое больше радиуса вписанной окружности.

6. Выразите (в терминах степень центра вписанной окружности относительно описанной.

7. Применение направленных отрезков дает нам возможность выразить теорему Стюарта (упражнение 4 § 2 гл. 1) в следующей симметричной форме ([22], стр. 152): Если -четыре точки, из которых последние три коллинеарны, то

8. Прямая, проходящая через центроид треугольника пересекает стороны треугольника в точках Используя понятие направленных отрезков, докажите, что

9. Сколь далек горизонт, если смотреть с вершины горы высотой в 1 милю (1 миля (Считайте, что Земля — сфера диаметра 7920 миль.)