§ 3. Треугольники Наполеона

Теперь мы будем изучать некоторые фигуры, построенные с помощью треугольников и четырехугольников. Следующая легкая теорема была удивительным образом упущена из виду.

Теорема 3.31. Пусть на сторонах произвольного треугольника построены во внешнюю сторону некоторые треугольники, обладающие тем свойством, что сумма их «отдаленных» углов равна 180°.

Рис. 53.

Тогда окружности, описанные вокруг этих трех треугольников, имеют общую точку.

(Вот еще одна теорема о конкурентности!) Ее доказательство совсем просто. Пусть имеются, как на рисунке 53, треугольники построенные на сторонах данного треугольника и подобранные так, что углы удовлетворяют соотношению 180°. Окружности, описанные вокруг треугольников и пересекаются в точке С, а другую точку их пересечения обозначим, скажем, Соединяя точку с точками мы видим, что

поэтому

Следовательно, точка лежит не только на окружностях, описанных вокруг треугольников и но и на окружности, описанной вокруг треугольника

Особый интерес представляют два частных случая:

Теорема 3.32. Если вершины треугольника лежат соответственно на сторонах треугольника то три окружности имеют общую точку.

Теорема 3.33. Если подобные треугольники построены извне на сторонах треугольника то окружности, описанные вокруг этих трех треугольников, имеют общую точку. (Заметьте, что из порядка, в котором мы назвали вершины подобных треугольников, следует, что углы при вершинах не являются соответственными углами этих треугольников.)

Теорема 3.32 была названа Фордером ([38], стр. 17) теоремой о центре вращения. Она была открыта А. Микелем в 1838 году. Меняя обозначения на для приведения в соответствие с обозначениями на рисунке 18, мы можем столь же легко доказать ее и в несколько расширенной форме: если треугольник и любые три точки на прямых то три окружности имеют общую точку . В частном случае, когда отрезки являются их диаметрами, треугольник является педальным треугольником треугольника относительно точки Закрепив треугольник и точку мы можем вращать три прямые и как единое целое вокруг «центра вращения» на любой угол; при этом получается «косой педальный треугольник» Ясно, что окружности продолжают проходить через точку

Точки не обязательно должны являться вершинами треугольника, они могут быть и коллинеарными, как на рисунке 35. В этом случае точки

В, С лежат на прямых тогда та же теорема утверждает, что три окружности имеют общую точку. Так как единственными общими точками последних двух окружностей являются точки и то нами доказана

Теорема 3.34. Если четыре прямые пересекают в шести точках так, что множествами коллинеарных точек являются то четыре окружности имеют общую точку.

В частном случае, когда у первых трех окружностей отрезки являются диаметрами, прямая есть прямая Симеона точки для треугольника Закрепив треугольник и точку мы можем вращать три прямые как единое целое вокруг точки на произвольный угол и, таким образом, получить «косую прямую Симеона». Эта прямая содержит новые «основания» обладающие тем свойством, что три прямые образуют равные углы (отсчитываемые в одну и ту же сторону) с тремя прямыми

Теорема 3.33 имеет интересное следствие, связанное с треугольником из центров (рис. 53). Так как стороны этого треугольника перпендикулярны общим хордам (или радикальным осям) пар окружностей, его угол должен быть дополнительным к углу а это означает, что Аналогично, . Они являются тремя различными углами наших трех подобных треугольников.

Следовательно, справедлива

Теорема 3.35. Если на сторонах произвольного треугольника во внешнюю сторону построены подобные треугольники то центры описанных вокруг них окружностей образуют треугольник, подобный этим трем треугольникам.

Ее частным случаем, изображенным на рисунке 54, является

Теорема 3.36. Если на сторонах произвольного треугольника во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники, то их центры образуют равносторонний треугольник.

Известно, что Наполеон Бонапарт был немного математиком, причем он интересовался в основном геометрией. Рассказывают, что однажды Наполеон, тогда еще не ставший правителем Франции, вел дискуссию с великими математиками Лагранжем и Лапласом, во время которой Лаплас его резко прервал: «Менее всего мы хотим от вас, генерал, урока геометрии». В дальнейшем Лаплас стал его главным военным инженером.

Рис. 54.

Теорему 3.36 приписали Наполеону, хотя являются сомнительными его знания геометрии для такого подвига, равно — как и его знания английского языка для составления знаменитого палиндрома

Во всяком случае, удобно называть треугольник из центров (в случае, когда треугольники и равносторонние) внешним треугольником Наполеона для треугольника По аналогии, если равносторонние треугольники построены внутрь на сторонах треугольника как на рисунке 55, то их центры являются вершинами внутреннего треугольника Наполеона Таким образом, теорема 3.36

может быть кратко сформулирована следующим образом:

Внешний треугольник Наполеона является равносторонним.

И. М. Яглом ([43], т. I, стр. 40, 159) доказал это другим методом, совсем не похожим на наш, но имеющим то преимущество, что при помощи него также получается и аналогичная

Теорема 3.37. Внутренний треугольник Наполеона является равносторонним.

Рис. 55.

Другой подход, который тоже дает интересный промежуточный результат, состоит в применении теоремы косинусов к треугольнику (см. рис. 54). Так как радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника со стороной то его длина равна Аналогично, Кроме того,

Следовательно,

Так как вершины внутреннего треугольника Наполеона могут быть получены из точек

симметрией относительно прямых и соответственно, то мы также имеем

Путем вычитания получаем

Аналогичным образом,

и так как то мы выводим, что

Вспоминая, что площадь равностороннего треугольника равна , умноженному на квадрат длины его стороны, мы можем сформулировать «интересный промежуточный результат»:

Теорема 3.38. Разность площадей внешнего и внутреннего треугольников Наполеона произвольного треугольника равна площади треугольника

В действительности (как мы видим на рисунке 55), внутренний треугольник Наполеона и треугольник имеют противоположные направления обхода, так что площадь треугольника является отрицательным числом (или нулем) и точной формулой будет не

и

или

Упражнения

(см. скан)