§ 7. Шестиугольники

Говорят, что две вершины шестиугольника являются смежными, чередующимися или противоположными в зависимости от того, разделяются они одной стороной, двумя или тремя сторонами. Таким образом, в шестиугольнике вершины смежны с вершиной А, вершины чередующиеся с вершиной А и вершина противоположна вершине А. Отрезок, соединяющий две противоположные вершины, называется диагональю. Таким образом, шестиугольник имеет три диагонали: Аналогично, этот шестиугольник имеет три пары противоположных сторон:

Данный шестиугольник может быть обозначен как двенадцатью способами: любая из шести его вершин может быть обозначена буквой А, любая из

двух смежных с ней вершин может быть обозначена буквой В, и тогда обозначения остальных определяются алфавитным порядком.

Шесть данных точек, никакие три из которых не коллинеарны, могут быть обозначены буквами способами. Каждый способ определяет шестиугольник имеющий в качестве вершин шесть данных точек. Следовательно, число различных шестиугольников, определяемых шестью точками, равно

На рисунке 63 показаны три из шестидесяти шестиугольников, определяемых шестью точками, лежащими на окружности. Хотя мы привыкли к первому («выпуклому») типу, мы не должны пренебрегать и другими пятьюдесятью девятью возможными шестиугольниками, которые могут быть получены с помощью тех же шести точек.

Рис. 63.

В § 1 мы потребовали, чтобы никакие три последовательные вершины многоугольника не были коллинеарны. Однако коллинеарность других вершин допустима. В частности, теорема 3.51 (теорема Паппа) может быть перефразирована следующим образом:

Если каждое множество из трех чередующихся вершин шестиугольника является множеством трех коллинеарных точек, и три пары противоположных сторон пересекаются, то эти три точки пересечения являются коллинеарными.

Упражнения

1. Если две противоположные стороны и шестиугольника параллельны диагонали а две противоположные стороны и параллельны диагонали и при этом

оставшиеся стороны и также параллельны, то третья диагональ параллельна стороне и центроиды треугольников и совпадают.

2. Даны две тройки коллинеарных точек. Сколько существует способов построить шестиугольник так, чтобы точки каждой тройки были его чередующимися вершинами?