§ 2. Полярная окружность треугольника

Если все четыре точки изображенные на рисунке 118, различны, то треугольник (точка С является точкой пересечения прямых обладает тем свойством, что каждая вершина является полюсом

противоположной стороны, а любые две вершины являются сопряженными точками, и любые две стороны являются сопряженными прямыми. Более того, любые две сопряженные (но не самосопряженные) точки можно рассматривать как две вершины такого автополярного треугольника

Так как три части рисунка 121 (воспроизводящие первые три части рисунка 118) представляют все различные возможности выбора точек то каждый автополярный треугольник является тупоугольным, причем вершина тупого угла лежит внутри окружности к», а остальные две вершины — вне нее.

Рис. 121.

Обратно, любой тупоугольный треугольник имеет единственную полярную окружность, относительно которой этот треугольник является автополярным. Центр и радиус этой окружности могут быть найдены следующим образом. Так как прямые и являются высотами треугольника то точка О служит его ортоцентром. Если вернуться к обозначениям, использованным нами в равенстве (2.44), то центром полярной окружности будет точка а ее радиус будет равен

Поэтому инверсия относительно этой окружности переводит вершины треугольника в основания его высот. Рассмотрев окружности, проходящие через эти тройки точек, и вспоминая, что при инверсии

окружности переходят в окружности, мы видим, что справедлива

Теорема 6.21. Для любого тупоугольного треугольника описанная вокруг него окружность и окружность девяти точек переходят друг в друга при инверсии относительно полярной окружности этого треугольника.

Другими словами, полярная окружность является одной из двух серединных окружностей для описанной окружности и окружности девяти точек (они пересекаются, поскольку треугольник является тупоугольным). Отсюда следует, что описанная окружность, окружность девяти точек и полярная окружность (центры которых лежат на прямой Эйлера) соосны и что (для любого тупоугольного треугольника) окружность девяти точек проходит не через девять, а через одиннадцать замечательных точек, причем последние две являются точками пересечения описанной и полярной окружностей.

Упражнение

1. В любом тупоугольном треугольнике полярная окружность пересекает описанную окружность под углом 6, для которого