§ 5. Прямые Симеона

Если из точки опущены перпендикуляры на стороны треугольника то основания этих перпендикуляров, как правило, образуют вершины треугольника (это педальный треугольник, рассмотренный в § 9 гл. 1).

Теперь давайте рассмотрим тот особый случай, когда точка лежит на описанной окружности, как на рисунке 35. Для определенности будем считать, что

точка находится на дуге не содержащей точку В.

Все остальные случаи могут быть получены переобозначением вершин буквами Так как углы прямые, то точка также лежит на окружностях, описанных вокруг треугольников Поэтому

и, вычитая мы выводим, что

Но так как точки лежат на окружности, то

и так как точки лежат на окружности, то

Таким образом,

отсюда следует, что точки коллинеарны, т. е. педальный треугольник «вырождается».

Рис. 35.

Наоборот, если точка расположена так, что педальный треугольник треугольника вырождается, то, очевидно, что точка должна лежать внутри одного из углов треугольника и вне противолежащей ему стороны. Переобозначая вершины, если это необходимо, мы можем предположить, что этот «один угол» является углом В и что точка лежит на продолжении стороны за точку А, как на рисунке 35. Повторяя приведенные выше рассуждения об углах в обратном порядке, мы сможем получить, что точка лежит на описанной окружности. Следовательно, справедлива

Теорема 2.51. Основания перпендикуляров, опущенных из точки на стороны треугольника,

коллинеарны тогда и только тогда, когда эта точка лежит на описанной окружности.

Прямая, содержащая эти основания, известна как прямая Симеона данной точки относительно данного треугольника. Роберт Симеон (1687—1768) внес значительный вклад как в геометрию, так и в арифметику. Например, именно он открыл, что если есть член ряда Фибоначчи: ([17], стр. 243-247). Прямая Симеона приписывалась ему, поскольку она казалась типичной для его геометрических идей. Однако историки тщетно пытались найти ее в его работах. В действительности, она была открыта в 1797 году Вильямом Уоллесом.

Упражнения

(см. скан)