§ 2. Радикальная ось двух окружностей

Е. Т. Белл рассказывает интересную историю ([4], стр. 48). Молодая принцесса Елизавета, высланная из Богемии, применяя метод координат, выполнила решение одной геометрической задачи, которая, по утверждению Белла; «являлась прекрасным образцом задач, неприспособленных для прямого применения к ним грубой силы элементарной декартовой геометрии». Ее учителем был Рене Декарт (в честь которого

декартовы координаты и получили свое название). Узнав об этом, он заметил, что «не взялся бы выполнить ее решение даже за меяц».

Урок ясен: если у нас имеется метод, с помощью которого можно получить решение задачи, то это решение может еще и не быть наилучшим или самым экономным. Во всяком случае, аналитическое доказательство следующей теоремы, будучи нисколько не сложнее, чем обычное синтетическое доказательство ([7], стр. 32), влечет за собой ряд интересных результатов.

Теорема 2.21. Множество точек, для которых степени относительно двух неконцентричных окружностей равны, является прямой, перпендикулярной линии центров этих окружностей.

В терминах декартовых координат квадрат расстояния между любыми двумя точками и выражается как

Поэтому степень точки относительно окружности радиуса с центром в точке равна

В частности, сама окружность, являясь множеством точек степени нуль, имеет уравнение

То же самое уравнение в форме выражает окружность как множество точек, удаленных от точки на постоянную величину Когда эта окружнвсть выражена в форме

степень произвольной точки снова выражается левой частью уравнения, а именно:

Другая окружность с тем же центром но иным радиусом, описывается уравнением такой же формы, но с другим с, а любая окружность с отличающимся центром описывается уравнением вида

где либо либо либо одновременно и то, и другое. Таким образом, мы можем использовать уравнения (2.212) и (2.213) для описания двух неконцентрических окружностей, упомянутых в теореме 2.21. Множество всех точек степени которых относительно этих двух окружностей равны, описывается уравнением

а так как сокращается, то это множество есть прямая

Выбрав нашу систему отсчета так, чтобы ось проходила через оба центра, мы сможем описать эти две окружности в более простой форме,

где Тогда наше множество описывается уравнением

Эта прямая, параллельная оси перпендикулярна оси которая является линией центров. Так как прямая может быть определена геометрически через эти окружности (как множество, содержащее все точки с одинаковыми степенями), то мы могли бы принять ее саму ось как изображено на рисунке 26. Таким образом, любые две неконцентрические окружности могут быть описаны в еще более простой форме

Теперь наше множество описывается уравнением наоборот, каждая точка прямой имеет

одну и ту же степень с относительно обеих окружностей.

Это замечание заканчивает доказательство. Конечно, мы могли бы сократить доказательство, записав уравнение этих двух окружностей сразу же в форме (2.214).

Рис. 26.

Однако тогда мы бы пропустили прекрасную лемму о том, что для любой окружности, выраженной в стандартной форме (2.212), степень произвольной точки равна выражению в левой части уравнения.

Множество точек, имеющих одинаковую степень относительно двух неконцентрических окружностей, называется их радикальной осью.

Рис. 27.

Рис. 28.

В частном случае, когда эти две окружности пересекаются в точках (рис. 27), каждая из этих точек имеет степень нуль относительно обеих окружностей, и поэтому

радикальная ось — просто прямая Аналогично, когда две окружности касаются друг друга (рис. 28), их радикальная ось является их общей касательной в точке их касания.

Упражнения

(см. скан)