§ 8. Спиральное подобие

Если сначала произвести дилатацию, а затем параллельный перенос, то любая прямая переходит в параллельную ей прямую; следовательно, результатом этого преобразования вновь является просто дилатация. И вообще, по тем же соображениям, сумма любых двух дилатаций (т. е. к результату первой применяется следующая дилатация) есть дилатация. С другой стороны, если вначале произвести дилатацию, а затем поворот, то тогда уже соответствующие прямые не параллельны. Таким образом, сумма дилатации и поворота (отличного от тождественного преобразования или разворота) не является дилатацией, хотя и остается прямым подобием, т. е. преобразованием, сохраняющим как величину углов, так и их знак.

Сумма гомотетии и поворота вокруг того же центра называется спиральным подобием. Это малоизвестное преобразование может быть прекрасно использовано для решения многих задач.

Если рассмотреть спиральное подобие с центром в точке О, как на рисунке 92, которое переводит отрезок в отрезок то треугольники и связаны прямым подобием и

Кроме того, как и в случае обычной дилатации, коэффициент подобия

Так как любое спиральное подобие полностью определяется его центром О, коэффициентом и углом поворота то мы будем его обозначать символом

(Как обычно, поворот 6 направлении против движения часовой Стрелки будем считать положительным, а в Направлении по движению часовой стрелки — отрицательным.) В частности, являются дилатацийми, проиллюстрированными на рисунках 90 и 91 соответственно, является поворотом.

Рис. 92. В качестве примера использования спирального подобия докажем следующую теорему:

Теорема 4.81. Если на сторонах треугольника построены внешним образом квадраты с центрами в точках то отрезки равны и перпендикулярны.

В обозначениях рисунка 93 спиральное подобие преобразует треугольник в треугольник а спиральное подобие Нреобразует треугольник в треугольник Так как первое преобразование переводит отрезок в отрезок а второе — отрезок в тот же отрезок и так как коэффициент подобия один и тот же у обоих преобразований, то и стороны исходных треугольников должны были быть равными.

Кроме тего, так как угол между образами отрезков подобиях, сопровождающихся поворотами на 45° и —45°) равен нулю, то эти отрезки и первоначально должны были быть перпендикулярными. Теперь доказательство закончено. (Заметим, что три отрезка являясь высотами треугольника конкурентны.)

Определив спиральное подобие как сумму гомотетии и поворота с одним и тем же центром, естественно задаться вопросом: что же будет суммой гомотетии и поворота, если их центры различны.

Рис. 93.

Простой и неожиданный ответ — спиральное подобие — является следствием того факта, что не существует более сложных случаев прямого подобия, а именно:

Теорема 4.82. Любые две прямо подобные фигуры могут быть переведены одна в другую параллельным переносом или спиральным подобием.

Для доказательства рассмотрим два соответствующих отрезка и прямо подобных фигур. Если отрезок параллелен отрезку и имеет ту же длину, то тогда это преобразование является параллельным переносом. Чтобы увидеть это, возьмем произвольную точку С, не Лежащую на отрезке и ее образ точку С. Тогда из прямого подобия этих фигур мы можем вывести, что треугольники и конгруэнтны, а их соответствующие стороны

параллельны. Из этого следует, что все отрезки, соединяющие точки с их образами, параллельны и равны, т.е. преобразование является параллельным переносом.

Далее предположим, что отрезки и имеют разные длины (если четыре точки не образуют четырехугольник, то выберите новую пару соответствующих отрезков таких, чтобы они образовали четырехугольник, и назовите их и Например, если точка В лежит на отрезке как на рисунке 94, то возьмите вместо точки середину отрезка а вместо точки середину отрезка Тогда прямые и пересекаются в точке как на рисунке 95. Пусть окружности и имеющие общую точку пересекаются еще раз в точке О (если же точка их касания, то буква О будет другим обозначением точки Сравнивая углы мы видим, что Аналогично Таким образом, треугольники и являясь прямо подобными, связаны спиральным подобием где

Другими словами, каждое прямое подобие, которое не является лараллельным переносом, имеет неподвижную точку. Кроме того, неподвижная точка только одна. Действительно, в противном случае, отрезок, соединяющий две такие точки, скажем, перешел бы сам в себя. А так как

то подобие было бы изометрией, оставляющей эти две точки неподвижными. И если при этом треугольник является образом некоторого треугольника то мы можем считать, что точка С лежит на каждой из окружностей с центрами в точках и радиусами и Однако такой изометрией может быть лишь тождественное преобразование, являющееся параллельным переносом (на нулевое расстояние), и симметрия, которая не является прямым подобием (потому что она меняет знаки углов).

(кликните для просмотра скана)

Рассмотрим следующий интересный факт: если нарисовать на кальке две карты некоторого государства в различных масштабах и совместить их, то только в одном месте обе карты будут изображать один и тот же участок местности.

Идея спирального подобия легла в основу очень красивой теоремы, сформулированной Юлиусом Петерсеном (в 1880 году) и Р. Г. Шутом (в 1890 году) частным случаям которой является следующая

Теорема 4.83. Если и два прямо подобных треугольника и, кроме того, три прямо подобных треугольника, то треугольник прямо подобен треугольнику

Если треугольники и совмещаются при параллельном переносе, то утверждение очевидно, если нет, то пусть то единственное спиральное подобие, которое преобразует треугольник в треугольник так что

как на рисунке 94. Отсюда следует, что Но мы допускаем, что

Следовательно,

и существует спиральное подобие переводящее треугольник в треугольник

Другим частным случаем теоремы Петерсена Шута, который доказывается таким же образом, является

Теорема 4.84. Пусть задано подобие, переводящее каждую точку отрезка в точку отрезка тогда точки, лежащие на отрезках и делящие их в заданном отношении, либо различны и коллинеарны, либо все совпадают.

Упражнения

1. Если треугольник преобразуется при помощи спирального подобия вокруг вершины А, при котором вершина В движется по отрезку то вершина С будет двигаться прямолинейно.

2. Если треугольник является разносторонним, то его внутренний треугольник Наполеона является обратно направленным по отношению к нему в том смысле, что его ориентация противоположна ориентации треугольников и (это утверждалось без доказательства в § 3 гл. 3).