§ 5. Задача Фаньяно

Свойства зеркального отражения могут быть использованы для вывода (притом весьма изящного) многих интересных теорем. Мы применим эти свойства для решения задачи нахождения треугольника наименьшего периметра, вписанного в данный остроугольный треугольник, известной как задача Фаньяно

Решение начнем с того, что в произвольный остроугольный треугольник (рис. 83) впишем его ортотреугольник (изображенный штриховой линией) и

бой другой треугольник (изображенный пунктирной линией). Затем последовательно будем отражать вместе с проведенными внутри него линиями относительно сторон Теперь исследуем полученный рисунок, чтобы увидеть все, что произошло с нашими треугольниками.

Если не принимать во внимание две точки, помеченные буквой С, то остальные вершины образуют ломаную линию углы которой (измеряемые против движения часовой стрелки) равны: в первой точке (верхняя слева), во второй точке В (в середине), во второй точке (снизу) и в третьей точке В (справа).

Рис. 83.

Из того, что сумма этих четырех углов равна нулю, следует, что сторона В А, полученная в результате последнего отражения, является образом стороны исходного треугольника при параллельном переносе; при этом пары соответствующих точек на этих двух сторонах образуют параллелограмм такой, как, например,

Теперь мы вспомним, что высоты треугольника делят пополам углы его ортотреугольника. Отсюда следует, что после указанных отражений стороны этого ортотреугольника будут последовательно отложены на прямой как показано на рисунке 83. Аналогично, стороны любого другого треугольника такого, как треугольник, изображенный на рисунке пунктирной линией, образуют ломаную, которая связывает точку (на исходной стороне с точкой

(на последней из полученных сторон Так как отрезок равен и параллелен отрезку то длина отрезка равна длине отрезка которая в свою очередь равна удвоенному периметру ортотреугольника. Ясно, что отрезок короче, чем ломаная, связывающая точки длина которой равна удвоенному периметру другого треугольника. Следовательно, треугольником с минимальным периметром является ортотреугольник.