§ 8. Теорема Паскаля

Мы подошли к замечательной теореме, открытой философом и математиком Блезом Паскалем (1623-1662) в шестнадцатилетнем возрасте.

Теорема 3.81. Если все шесть вершин шестиугольника лежат на окружности и три пары противоположных сторон пересекаются, то эти три точки пересечения коллинеарны.

Рис. 64.

Никто не знает, как Паскаль доказывал ее, потому что подлинный текст доказательства был утерян. Однако до того, как он был потерян, его видел и хвалил Г. В. Лейбниц (открывший одновременно с Ньютоном дифференциальное и интегральное исчисления). Такое положение вещей стимулирует попытки восстановить потерянное доказательство, т. е. дать доказательство, используя только результаты и методы, существовавшие во времена Паскаля. Одно такое доказательство, использующее только первые три книги Евклида, было дано Фордером ([39], стр. 13); но это tour de force, а вероятнее всего, Паскаль использовал теорему Менелая так же, как и в приведенном здесь доказательстве.

На рисунке 64 показан один из многих способов расположения шестиугольника вписанного в окружность. (Читатель может легко увидеть, какие изменения понадобятся в рассуждениях при ином его расположении, например, если те же самые шесть вершин соединить одним из пятидесяти девяти других

возможных способов.) Мы хотим доказать, что следующие три точки пересечения

коллинеарны.

Предположим, что три прямые образуют треугольник как на рисунке 64. Применяя теорему 3.41 к трем тройкам точек лежащих на сторонах этого треугольника мы получим

Перемножая все эти три выражения и замечая, что по теореме 2.11

мы получаем

поэтому точки коллинеарны, что и требовалось.

Прямая, содержащая эти три точки называется прямой Паскаля шестиугольника Как мы видели в § 7, эти же шесть точек определяют шестьдесят шестиугольников; следовательно, они определяют (вообще говоря) шестьдесят прямых Паскаля. Эти шестьдесят прямых образуют очень интересную конфигурацию: некоторые их подмножества конкурентны, а некоторые подмножества "точек их пересечения коллинеарны, и т. д.

Как следует из сохранившейся короткой работы Паскаля «Опыт о конических сечениях» («Essay pour les coniques»), он хорошо знал, что его теорема применима не только к шестиугольнику, вписанному в окружность, но и к шестиугольнику, вписанному в коническое сечение. Обратная к ней теорема, доказанная независимо Вильямом Брекенриджем и Колином Маклореном, содержится в любом учебнике по проективной геометрии, например ([18], стр. 125).

Если три пары противоположных сторон шестиугольника пересекаются в трех коллинеарных точках, то шесть его вершин лежат на коническом сечении, которое может вырождаться в пару прямых (как в теореме 3.51).

Рис. 65.

Если позволить вершинам вписанного шестиугольника сливаться, при этом внимательно следя за тем, чтобы сохранились их обозначения, то мы сможем вывести несколько интересных теорем о вписанных пятиугольниках и четырехугольниках. В таких случаях сторона, конечные точки которой сливаются, превращается в точку, а прямая, содержащая ее, переходит в касательную к этой окружности (или коническому сечению) в этой точке. Рассмотрим, например, вписанный четырехугольник изображенный на рисунке 65. Считая, что скрещенный четырехугольник является вырождением шестиугольника, при котором вершина В совпала с вершиной С, а вершина с вершиной мы можем применить теорему Паскаля, утверждение которой будет состоять в том, что касательные в точках пересекаются в точке лежащей на прямой, соединяющей точки

Упражнения

1. Если пять из шести вершин шестиугольника лежат на окружности и три пары противоположных сторон пересекаются в трех коллинеарных точках, то и шестая вершина лежит на той же окружности.

2. У вписанного четырехугольника с непараллельными сторонами касательные в точках пересекаются на прямой, соединяющей точки и