Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 8. Теорема ПаскаляМы подошли к замечательной теореме, открытой философом и математиком Блезом Паскалем (1623-1662) в шестнадцатилетнем возрасте. Теорема 3.81. Если все шесть вершин шестиугольника лежат на окружности и три пары противоположных сторон пересекаются, то эти три точки пересечения коллинеарны.
Рис. 64. Никто не знает, как Паскаль доказывал ее, потому что подлинный текст доказательства был утерян. Однако до того, как он был потерян, его видел и хвалил Г. В. Лейбниц (открывший одновременно с Ньютоном дифференциальное и интегральное исчисления). Такое положение вещей стимулирует попытки восстановить потерянное доказательство, т. е. дать доказательство, используя только результаты и методы, существовавшие во времена Паскаля. Одно такое доказательство, использующее только первые три книги Евклида, было дано Фордером ([39], стр. 13); но это tour de force, а вероятнее всего, Паскаль использовал теорему Менелая так же, как и в приведенном здесь доказательстве. На рисунке 64 показан один из многих способов расположения шестиугольника возможных способов.) Мы хотим доказать, что следующие три точки пересечения
коллинеарны. Предположим, что три прямые
Перемножая все эти три выражения и замечая, что по теореме 2.11
мы получаем
поэтому точки Прямая, содержащая эти три точки Как следует из сохранившейся короткой работы Паскаля «Опыт о конических сечениях» («Essay pour les coniques»), он хорошо знал, что его теорема применима не только к шестиугольнику, вписанному в окружность, но и к шестиугольнику, вписанному в коническое сечение. Обратная к ней теорема, доказанная независимо Вильямом Брекенриджем и Колином Маклореном, содержится в любом учебнике по проективной геометрии, например ([18], стр. 125). Если три пары противоположных сторон шестиугольника пересекаются в трех коллинеарных точках, то шесть его вершин лежат на коническом сечении, которое может вырождаться в пару прямых (как в теореме 3.51).
Рис. 65. Если позволить вершинам вписанного шестиугольника сливаться, при этом внимательно следя за тем, чтобы сохранились их обозначения, то мы сможем вывести несколько интересных теорем о вписанных пятиугольниках и четырехугольниках. В таких случаях сторона, конечные точки которой сливаются, превращается в точку, а прямая, содержащая ее, переходит в касательную к этой окружности (или коническому сечению) в этой точке. Рассмотрим, например, вписанный четырехугольник
Упражнения1. Если пять из шести вершин шестиугольника лежат на окружности и три пары противоположных сторон пересекаются в трех коллинеарных точках, то и шестая вершина лежит на той же окружности. 2. У вписанного четырехугольника
|
1 |
Оглавление
|