§ 2. Вписанные четырехугольники; теорема Брахмагупты

Множество, состоящее из прямолинейных отрезков, соединяющих попарно V точек, рассмотрим как «систему», в которой отрезки играют роль твердых стержней, шарнирно соединенных между собой так, чтобы они все время оставались в одной плоскости. Ясно, что треугольник является жестким, в то время как четырехугольник имеет одну степень свободы: один из его углов может быть увеличен или уменьшен, что влечет за собой изменение других углов. Говорят, что система строго жесткая, если она жесткая, но перестает быть таковой после удаления любого из стержней. Сэр Гораций Лэмб ([23], стр. 93—94) дал простое доказательство того, что необходимым (хотя и не достаточным) условием строгой жесткости системы является Соотношение

Рис. 49.

Например, . В этом случае мы имеем четырехугольник с одной диагональю; устранение Этой диагонали дает упомянутую ранее степень Свободы.

Любые четыре длины каждая из которых меньше суммы остальных трех, могут быть использованы в качестве длин сторон выпуклого четырехугольника.

Степень свободы дает нам возможность уменьшать или увеличивать два противоположных угла до тех пор, пока они ни станут дополнительными, и тогда, как мы помним, все его четыре вершины будут лежать на окружности. Предположим, что длины диагоналей такого вписанного четырехугольника равны обозначено на первом чертеже рис, 50). Разрезая четырехугольник вдоль его диагонали I и вновь соединяя его, при этом перевернув треугольник мы получим новый четырехугольник вписанный в ту же окружность (как на втором чертеже рис. 50). Одной из его диагоналей является снова отрезок

Рис. 50.

Рассекая вписанный четырехугольник вдоль другой его диагонали и соединяя его вновь после переворачивания треугольника мы получаем третий четырехугольник вписанный в ту же самую окружность (как на последнем чертеже рис. 50). Так как этот третий четырехугольник мог бы быть получен из первого рассечением вдоль диагонали то его диагонали имеют длины и никакие новые преобразования такого вида невозможны (исключая перевороты всего четырехугольника такие, как в

По теореме Птолемея (теорема 2.61)

Так как эти четырехугольники выпуклы, то мы можем считать площадь каждого суммой положительных площадей двух треугольников. Переворачивание треугольника описанным способом не меняет его положительной площади. Следовательно, все три четырехугольника имеют одну и ту же площадь

(хотя никакие два из них не конгруэнтны, если никакие две длины из не окажутся равными). Эти наблюдения мы суммируем в следующем утверждении:

Теорема 3.21. Любые четыре неравные длины, каждая из которых меньше суммы остальных трех, могут быть длинами сторон трех различных вписанных четырехугольников, имеющих одинаковую площадь.

Следствие. Площадь вписанного четырехугольника является симметрической функцией длин четырех его сторон.

Точное выражение для этой функции было найдено в седьмом столетии нашей эры индийским математиком Брахмагуптой:

Теорема 3.22. Если вписанный четырехугольник имеет длины сторон и полупериметр то его площадь К равна

Рис. 51.

Изложим один из простейших методов получения формулы Брахмагупты, использующий тригонометрию. На рисунке 51 изображен вписанный четырехугольник где вершина, принадлежащая сторонам вершина, принадлежащая сторонам диагональ, соединяющая две другие вершины. (Мы будем обозначать внутренние углы в вершинах теми же буквами Так как мы имеем

По теореме косинусов

следовательно,

Так как

мы также имеем

Возводя в квадрат и складывая выражения (3.221) и (3.222), мы получаем

Следовательно,

Повторно применяя тождество находим

где Это заканчивает доказательство.

Положив в теореме 3.22, мы получаем формулу Герона для величины площади треугольника через длины сторон с и полупериметр

Хотя она называется в честь Герона Александрийского (около 60 года нашей эры), однако ван дер Варден ([8], стр. 314, 373) разделяет мнение Белла ([3], стр. 58), приписывающего ее Архимеду (третье столетие до нашей эры).

Другое открытие Брахмагупты касается вписанных четырехугольников некоторого специального вида.

Теорема 3.23. Если вписанный четырехугольник имеет перпендикулярные диагонали, пересекающиеся в точке то прямая, проходящая через точку и

перпендикулярная одной из его сторон, делит противоположную ей сторону пополам.

Ссылаясь на рисунок 52, где вписанный четырехугольник имеет перпендикулярные диагонали и а прямая перпендикулярна стороне и пересекает сторону в точке X, мы имеем

Следовательно, треугольник равнобедренный. Аналогично, равнобедренным будет и треугольник Поэтому

Упражнения

(см. скан)

10. Если четырехугольник вписан в окружность, то произведение расстояний точки, лежащей на этой окружности, до двух противоположных сторон равно произведению расстояний этой точки до других двух сторон, а также произведению расстояний той же точки до диагоналей.