§ 5. Ортогональность

Итак, мы обнаружили, что при инверсии окружности сохраняются (вновь переходят в окружности). Теперь нам остается сделать лишь один шаг, чтобы увидеть, что при этом сохраняются также и углы. Угол между двумя пересекающимися окружностями естественно определить как угол между касательными к ним в точке пересечения. Из симметрии относительно линии центров ясно, что углы имеют одну и ту же величину в обеих точках пересечения. Посмотрим, как на величину углов влияет инверсия относительно окружности с центром в точке О. Пусть 6 — один из углов между двумя прямыми проходящими через точку как на рисунке 107. При обсуждении рисунка 103 мы заметили, что прямая а при инверсии переходит в окружность а, проходящую через точку О, касательная к которой в точке О параллельна прямой а. Аналогично, прямая переходит при инверсии в окружность проходящую через точку О, касательная к которой в точке О параллельна прямой Так как угол 6 является углом между их касательными в точке О, то он является углом пересечения и самих окружностей Однако эти окружности пересекаются не только в точке О, но и в точке образе точки Следовательно, окружности образуют тот же самый угол точке

Рис. 107.

Читатель может легко сообразить, какие необходимы изменения в том случае, если прямая а (или

проходит через точку О. (Если обе прямые проходят через точку О, то они переходят при инверсии в самих себя, и неизменность угла становится очевидной.)

Пусть некоторые две окружности проходят через точку Мы можем считать, что прямые являются их касательными в точке Образы этих окружностей при инверсии касаются окружностей (соответственно) в точке Следовательно, справедлива

Теорема 5.51. Если две окружности пересекаются под углом 6, то образы этих окружностей при инверсии пересекаются под тем же углом

Две окружности называются ортогональными, если они пересекаются (дважды) под прямым углом, при этом в каждой из точек пересечения касательная к одной из них является диаметром другой. Частным случаем теоремы 5.51 является

Теорема 5.52. Ортогональные окружности переходят при инверсии в ортогональные окружности.

Рассмотрим вновь рисунок 24 и заменим на нем обозначение точки на О. Изображенную там окружность мы можем рассматривать в качестве произвола ной окружности, проходящей через точки (каждая из которых, как и следует из обозначения, является образом другой при инверсии с центром в точке О). Тогда, так как

то любая другая секущая проходящая через точку О, порождает новую пару точек переходящих друг в друга при этой инверсии. А если рассмотреть касательную, проведенную из точки О к этой окружности, то точка касания будет точкой, переходящей в себя при этой инверсии, т. е. точкой, лежащей на окружности инверсии Следовательно, имеет место.

Теорема 5.53. Любая окружность, проходящая через две различные точки, каждая из которых является образом другой при инверсии относительно окружности переходит в себя при этой инверсии и ортогональна к окружности

Обратно, каждая окружность, ортогональная к окружности переходит в себя при инверсии

относительно этой окружности. Действительно, если она пересекает окружность со в точке любая ее другая точка, то прямая пересекает ее также в точке А, обладающей тем свойством, что

Кроме того, если две окружности, ортогональные к окружности пересекаются, то их общие точки переходят друг в друга при этой инверсии. На самом деле, если точка А — одна из этих точек, то прямая пересекает каждую из окружностей в точке, являющейся образом точки А.

Эти замечания позволяют нам дать определение инверсии, используя понятие ортогональности, так что в результате получим «инверсивное» определение инверсии:

Любая точка на окружности со является своим образом при инверсии относительно этой окружности-, образом любой другой точки при этой инверсии является вторая точка пересечения любых двух окружностей, проходящих через точку и ортогональных к окружности

Если вместо окружности со мы возьмем прямую, то согласно приведенному определению инверсия превращается в симметрию относительно этой прямой и, следовательно, симметрию можно считать частным случаем инверсии.

Из того же определения инверсии следует, что для любой окружности а и двух точек, переходящих друг в друга при инверсии относительно этой окружности, их образами при инверсии относительно окружности будут окружность а и две точки, переходящие друг в друга при инверсии относительно окружности а. Теперь, соединив идеи инверсивной геометрии и евклидовой, мы можем установить влияние инверсии на положение центра А окружности а. Мы могли бы предположить, что при инверсии точка А переходит в центр окружности а, но это было бы слишком просто! (Этого не происходит даже в том случае, когда окружность а совпадает с окружностью со.) В действительности, при инверсии относительно окружности со окружность а переходит в окружность а, а две точки А и Рос, переходящие друг в друга при инверсии

относительно окружности а, преобразуются в две точки переходящие друг в друга при инверсии относительно окружности а.

Рис.

Таким образом, точка А (являясь образом точки А при инверсии относительно окружности не будет центром окружности а, а будет образом точки О (при инверсии относительно окружности а, рис. 108).

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)