Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 5. ОртогональностьИтак, мы обнаружили, что при инверсии окружности сохраняются (вновь переходят в окружности). Теперь нам остается сделать лишь один шаг, чтобы увидеть, что при этом сохраняются также и углы. Угол между двумя пересекающимися окружностями естественно определить как угол между касательными к ним в точке пересечения. Из симметрии относительно линии центров ясно, что углы имеют одну и ту же величину в обеих точках пересечения. Посмотрим, как на величину углов влияет инверсия относительно окружности с центром в точке О. Пусть 6 — один из углов между двумя прямыми
Рис. 107. Читатель может легко сообразить, какие необходимы изменения в том случае, если прямая а (или проходит через точку О. (Если обе прямые проходят через точку О, то они переходят при инверсии в самих себя, и неизменность угла становится очевидной.) Пусть некоторые две окружности проходят через точку Теорема 5.51. Если две окружности пересекаются под углом 6, то образы этих окружностей при инверсии пересекаются под тем же углом Две окружности называются ортогональными, если они пересекаются (дважды) под прямым углом, при этом в каждой из точек пересечения касательная к одной из них является диаметром другой. Частным случаем теоремы 5.51 является Теорема 5.52. Ортогональные окружности переходят при инверсии в ортогональные окружности. Рассмотрим вновь рисунок 24 и заменим на нем обозначение точки
то любая другая секущая Теорема 5.53. Любая окружность, проходящая через две различные точки, каждая из которых является образом другой при инверсии относительно окружности Обратно, каждая окружность, ортогональная к окружности относительно этой окружности. Действительно, если она пересекает окружность со в точке
Кроме того, если две окружности, ортогональные к окружности Эти замечания позволяют нам дать определение инверсии, используя понятие ортогональности, так что в результате получим «инверсивное» определение инверсии: Любая точка на окружности со является своим образом при инверсии относительно этой окружности-, образом любой другой точки Если вместо окружности со мы возьмем прямую, то согласно приведенному определению инверсия превращается в симметрию относительно этой прямой и, следовательно, симметрию можно считать частным случаем инверсии. Из того же определения инверсии следует, что для любой окружности а и двух точек, переходящих друг в друга при инверсии относительно этой окружности, их образами при инверсии относительно окружности относительно окружности а, преобразуются в две точки
Рис. Таким образом, точка А (являясь образом точки А при инверсии относительно окружности Упражнения(см. скан) (см. скан)
|
1 |
Оглавление
|