§ 8. Инверсное расстояние

Так как при инверсии биссектрисы углов переходят в биссектрисы углов, то каждая из серединных окружностей двух пересекающихся окружностей делит пополам углы между ними. Соответственно, разумно задать вопрос: нельзя ли определить подобную числовую характеристику для двух непересекающихся окружностей, которая бы «делилась пополам» их единственной серединной окружностью. Так поставленный вопрос приводит нас к созданию для любых двух непересекающихся окружностей их инверсного расстояния обладающего тем свойством, что если окружность у принадлежит пучку непересекающихся окружностей и окружность лежит между окружностями , то

Произведя инверсию относительно окружности с центром в одной из граничных точек, мы получаем три концентрические окружности, радиусы которых с удовлетворяют либо условию либо условию конечно, тождеству

Заметив, что при логарифмировании произведение переходит в сумму, мы определяем

т.е. равное если или если Для рассмотренных концентрических

окружностей таким образом введенное расстояние, очевидно, удовлетворяет уравнению (5.801).

Под знаком можно было бы понимать «логарифм при основании десять», так что соотношение обозначало бы, что Однако привычка использовать основание десять сложилась в силу того, большинства людей на руках десять пальцев. Математически же гораздо удобнее заменить чисто десять на трансцендентное число

при этом соотношение (часто записываемое где отражает название - «натуральный логарифм») означает, что

а сам натуральный логарифм может быть выражен столь же замечательным рядом

Договоримся определять инверсное расстояние между любыми двумя непересекающимися окружностями как натуральный логарифм отношения радиусов (большего к меньшему) двух концентрических окружностей, в которые данные окружности могут быть переведены при помощи инверсии.

Так как концентрические окружности при инверсии переходят в соосные окружности, то так введенное расстояние аддитивно, в смысле соотношения (5.801), для элементов соосного пучка. В частности, серединная окружность любых двух непересекающихся окружностей делит пополам инверсное расстояние между ними. Рассматривая две параллельные прямые как предельное положение двух концентрических окружностей, мы видим, что две касающиеся окружности могут соответственно рассматриваться как находящиеся на инверсном расстоянии нуль.

Если мы имеем две (неконцентрические) окружности, одна из которых находится внутри другой, и еще несколько окружностей, последовательно касающихся друг друга, а также касающихся двух первоначально заданных окружностей, как на рисунке 112, то может случиться так, что последовательность касающихся окружностей замкнется в кольцо из окружностей, в котором последняя окружность касается первой. В этом случае, очевидно, в качестве первой окружности кольца мы можем принять произвольную окружность, касающуюся, двух первоначально данных. Подобным образом построенное кольцо вновь замкнется и будет содержать также окружностей.

Рис. 112.

Рис. 113.

Из теоремы 5.71 следует удивительно простое доказательство этого результата, известного как поризм Штейнера ([38], стр. 53 и [43], т. II, стр. 199, 507). А именно: произведем инверсию, переводящую первоначальные окружности в концентрические; тогда остальные образуют кольцо конгруэнтных окружностей с центрами в вершинах правильного -угольника, как на рисунке 113. Здесь точка А — центр одной из окружностей, точка ее касания с одной из соседних окружностей кольца, и точка О — общий центр двух концентрических окружностей. Обозначим радиус внешней окружности через а, а радиус

внутренней — через тогда в прямоугольном треугольнике

([20], стр. 3). Так как радиусы этих концентрических окружностей равны то инверсное расстояние между ними удовлетворяет соотношению

Отсюда следует, что поризм Штейнера выполняется всякий раз, когда инверсное расстояние между рассматриваемыми первоначальными окружностями удовлетворяет этому же уравнению

Решая это уравнение относительно мы получим

откуда находим

В частности, задавая мы получаем, что любые две окружности, инверсное расстояние между которыми равно

принадлежат к конфигурации из шести окружностей, каждая из которых касается четырех других. Эти шесть окружностей распадаются на три пары «противоположных», так что каждая окружность касается всех других, кроме своей противоположной. Инверсное расстояние между любыми двумя противоположными окружностями равно а оставшиеся двенадцать расстояний, конечно, равны нулю.

Поризм Штейнера остается справедливым и в том случае, если цепочка окружностей замыкается не

после одного, а после полных оборотов. В этом случае мы должны заменить во всех формулах число на дробь

Так как окружность может иметь произвольный радиус и так как ее центр задается двумя координатами, то множество всех окружностей в евклидовой плоскости (а также и в круговой плоскости) представляет собой трехпараметрическое семейство или совокупность троек чисел, каждое из которых может принимать бесконечное число значений. Если мы рассмотрим интерпретацию этого семейства окружностей на круговой плоскости в виде совокупности плоскостей трехмерного пространства, то мы сможем получить знаменитую «неевклидову» геометрию, которая была открыта независимо (между 1820 и 1830 годами) Гауссом, Больаи и Лобачевским. Углы между двумя пересекающимися окружностями соответствуют углам между двумя плоскостями, пересекающимися по прямой; две касающиеся окружности соответствуют двум «параллельным» плоскостям; инверсное расстояние между двумя непересекающимися окружностями соответствует расстоянию между двумя «ультрапараллельными» плоскостями, которые имеют общую перпендикулярную прямую, причем расстояние между ними измеряется вдоль этой прямой.

Упражнения

(см. скан)