§ 6. Задача о трех кувшинах

Любопытно применение симметрии к решению задач, в которых требуется разделить жидкость на определенные порции с помощью инструментов, казалось бы, совсем не приспособленных для этого. Для того чтобы показать, как это делается, необходимо предварительно описать трилинейные координаты, что мы сейчас и сделаем.

Как правило, для нанесения точек с заданными декартовыми координатами используется обычная миллиметровая бумага. Для наших же целей лучше использовать «триангулированную» бумагу, т. е. бумагу, на которой проведены три системы параллельных линий, разбивающих ее плоскость на маленькие равносторонние треугольники. На такой бумаге удобно наносить точки, задаваемые трилинейными координатами относительно (большого) равностороннего треугольника. В плоскости такого треугольника со стороной а и высотой трилинейные координаты точки определяются, как расстояния точки от трех его сторон Эти расстояния считаются положительными, когда точка внутри треугольника. Введем для точки обозначение . Так как

то мы имеем

Такими координатами можно идеально предста вить любую ситуацию, в которой три переменные величины имеют постоянную сумму. В том случае, когда одна из величин остается постоянной, а две другие изменяются (с постоянной суммой), точка (х, у, z) движется по прямой, параллельной одной из сторон треугольника. В частности, сами стороны описываются уравнениями

а вершины имеют координаты

Именно такая ситуация возникает в том случае, когда литров жидкости разливается по трем сосудам так, чтобы в первом сосуде было литров, во втором — у литров и в третьем — литров. Постепенному переливанию жидкости из второго сосуда в третий соответствует движение точки по прямой в направлении, соответствующем уменьшению у и соответственному увеличению Если каждый сосуд можёт вмещать литров (такую ситуацию мы будем обозначать символом то каждая из координат может принимать любое значение от до и множество точек, в которые можно попасть, как-то переливая жидкость из одного сосуда в другой — это множество мы назовем областью операций, — совпадает с треугольником и задается неравенствами

Гораздо больший интерес представляет случай где Теперь три данных сосуда имеют емкости и задача состоит в том, чтобы отмерить определенную величину а жидкости, многократно переливая ее из одного сосуда в другой; при этом мы или полностью опорожняем один сосуд, или до краев наполняем другой (или, возможно, делаем и то, и другое сразу). Область операций теперь примет вид

Она, как правило, будет (правильным или неправильным) шестиугольником, ограниченным шестью прямыми

Но в частных случаях она может превратиться в пятиугольник, трапецию, параллелограмм или (как мы уже видели) охватывать весь равносторонний треугольник.

Например, на рисунках 84 и 85 проиллюстрирована ситуация [8; 7, 6, 3], в которой 8 литров жидкости некоторым заданным образом разлиты в сосуды емкостью 7, 6, 3 литров.

Рис. 84.

Рис. 85.

Мы хотим отмерить, скажем, 4 литра. Теперь областью операций станет шестиугольная область

которая ограничена шестью прямыми

и имеет вершины

или в сокращенной форме:

На рисунке 84 выделена точка 332, которая представляет общий случай: 3 литра в первом сосуде,

столько же во втором и 2 литра в третьем. Ломаная, исходящая из этой точки, указывает шесть возможных операций по переливанию. Путь от точки 332 до точки 530 соответствует процессу опорожнения последнего сосуда в первый, а движению в противоположную сторону от точки 332 до точки 233 соответствует процесс наполнения третьего сосуда из первого. Пути от точки 332 до точки 062 соответствует процесс опустошения первого сосуда во второй, который тем самым наполняется.

Заштрихованные прямые на рисунке 85 показывают один из нескольких способов прохождения из точки 332 в точку 440 и, таким образом, деления 8 литров на две равные порции. Весь путь есть ломаная, которая идет всегда параллельно одной из сторон исходного треугольника и поворачивает только тогда, когда она достигает какой-нибудь стороны или вершины шестиугольника, ограничивающего область операций. Если бы мы, придерживаясь тех же правил, продолжали этот путь (минуя точку 440), то, в конце концов, достигли бы всех точек на границе области операций, имеющих целые координаты. Из этого следует, что в ситуации [8; 7,6, 3] указанным образом может быть отмерено любое целое число литров (меньше, чем 8).

Рис. 86.

На рисунке 86 проиллюстрирована ситуации [10; 8, 7, 6], в которой требуется разлить 10 литров жидкости в сосуды, вмещающие 8, 7 и 6 литров, соответственно. Здесь мы легко можем отмерить 1, 2, 3 или 4 литра. Но мы никогда не сможем отмерить 5 литров (если не известно, что с самого начала в одном из сосудов содержится 5 литров), потому что путь, проходящий через точки 055, 505, 550, крутится подобно порочному кругу, и в него нельзя войти ни с какого

другого пути. Такие явления встречаются в любой туации при

Несколько другой случай аномалий встречается в ситуации [10; 8, 6, 4] (рис. 87), где пути, проходящие через точку 550, образуют узор из маленьких равносторонних треугольников и правильных шестиугольников. Это подтверждает тот очевидный факт, что нечетное число литров нельзя измерить сосудами, все емкости которых четны. Такие затруднения моьут встретиться в любой ситуации в которой числа с имеют общий делитель, больший единицы.

Рис. 87.

Наиболее известны ситуации в которых

и поэтому сфера операций ограничена параллелограммом, вершинами которого являются рисунках 88 и 89 в ситуации [8; 8, 5, 3] показаны шестиэтапное и восьмиэтапное решения задачи, которая может быть выражена следующим образом: два человека имеют сосуд, наполненный 8 литрами какой-то жидкости, два пустых сосуда; емкостью 5 литров и 3 литра. Они хотят разделить эти 8 литров жидкости поровну.

Первое, что нужно сделать, — это либо наполнить сосуд емкостью 5 литров, как на рисунке 88, либо сосуд емкостью 3 литра, как на рисунке 89. После этого, всякий раз, когда путь достигает одной из четырех прямых которые являются сторонами нашего параллелограмма (область операций), мы рассматриваем одну прямую как зеркало. Другими словами, мы следуем по траектории биллиардного шара, который ударили так, чтобы он двигался вдоль одного края стола, имеющего эту

несколько необычную форму. (Правило последовательных отражений объясняется тем фактом, что каждый отрезок ломаной, параллельный стороне исходного треугольника, соответствует операции переливания жидкости из одного сосуда в другой, а третий сосуд в это время не трогают).

Рис. 88.

Рис. 89.

Таким образом, мы получаем семиэтапное решение

800, 350, 323, 620, 602, 152, 143, 440

и восьмиэтапное решение

Ясно, что такую задачу можно решить только тогда, когда целые числа — взаимно просты, т. е. не имеют общего делителя, большего единицы.

Упражнения

(см. скан)

координаты удовлетворяют уравнениям

то эти две точки являются изогонально сопряженными, т. е.