Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 9. Гиперболические функцииВ этом параграфе мы рассмотрим красивую аналогию между тригонометрическими функциями углов, образованных пересекающимися окружностями, и так называемыми гиперболическими функциями инверсных расстояний между парами непересекающихся окружностей. Гиперболический синус, гиперболический косинус и гиперболический тангенс определяются через показательную функцию формулами
из которых, как легко видеть, следует, что
Некоторые важные тождества указаны в левой колонке приведенной ниже таблицы, а в правой колонке даются аналогичные тригонометрические тождества.
В этих обозначениях равенство (5.803) может быть переписано как
или
Возможно, покажется не слишком странным сравнение роли гиперболических функций в математике С ролью радикала аммония Возвращаясь к нашему обсуждению углов и расстояний между парами окружностей, давайте рассмотрим две окружности с радиусами
Посмотрим, не сможем ли мы указать геометрический смысл этого выражения
В том случае, Когда одно из чисел удовлетворяют соотношению
Рис. 114.
Рис. 115. Пусть эти окружности являются образами при инверсии двух непересекающихся окружностей, тогда для удобства мы вновь обозначим через
однако это сложное отношение нам нужно выразить теперь через новые значения
откуда
откуда Теорема 5.91. Если
Рис. 116. Интересное приложение этой теоремы можно получить при рассмотрении четырехугольника, все вершины которого лежат на одной окружности (радиуса а), а все стороны касаются другой окружности (радиуса
которое может быть выражено в виде
или
Так как
то отсюда следует, что инверсное расстояние между окружностями, которые имеются у вписанно-описанного четырехугольника, выражается через их радиусы с помощью простой формулы
Упражнения(см. скан) (см. скан)
|
1 |
Оглавление
|