§ 9. Гиперболические функции

В этом параграфе мы рассмотрим красивую аналогию между тригонометрическими функциями углов, образованных пересекающимися окружностями, и так называемыми гиперболическими функциями инверсных расстояний между парами непересекающихся окружностей. Гиперболический синус, гиперболический косинус и гиперболический тангенс определяются через показательную функцию формулами

из которых, как легко видеть, следует, что

Некоторые важные тождества указаны в левой колонке приведенной ниже таблицы, а в правой колонке даются аналогичные тригонометрические тождества.

В этих обозначениях равенство (5.803) может быть переписано как

или

Возможно, покажется не слишком странным сравнение роли гиперболических функций в математике С ролью радикала аммония в химии. Этот радикал ведет себя как атом натрия или калия, хотя его можно разложить на атомы азота и водорода. Что-то похожее происходит и с гиперболическими функциями: они ведут себя подобно тригонометрическим функциям, хотя их можно выразить через показательные функции. (Нужно признать, что такой экскурс в область химии меньше понравится читателю, который, изучив функции комплексной переменной, понимает значение формул

Возвращаясь к нашему обсуждению углов и расстояний между парами окружностей, давайте рассмотрим две окружности с радиусами такие, что (обычное) расстояние между их центрами равно с. Если каждая из величин с меньше, чем сумма двух других, то окружности пересекаются в двух точках. Любая из этих точек вместе с центрами окружностей образует треугольник, длины сторон которого равны Один из двух дополнительных углов, образующихся при пересечении окружностей, равен углу между сторонами треугольника, и поэтому его косинус (из теоремы косинусов) равен

Посмотрим, не сможем ли мы указать геометрический смысл этого выражения

В том случае, Когда одно из чисел с больше, чем сумма двух других, т. е. когда окружности не пересекаются. Например, они могут быть двумя концентрическими окружностями (если диаметры которых лежат на одной прямой и

удовлетворяют соотношению как на рисунке 114. Теперь используем инверсное расстояние в выражении для сложного отношения

Рис. 114.

Рис. 115.

Пусть эти окружности являются образами при инверсии двух непересекающихся окружностей, тогда для удобства мы вновь обозначим через расстояние (обычное) между центрами этих окружностей, а через их радиусы; соответственно, точки будут точками их пересечения с линией центров (при этом как и раньше). Согласно теоремам 5.42 и 5.43, сложное отношение и свойство быть разбиением сохраняются при инверсии, поэтому останется справедливым

однако это сложное отношение нам нужно выразить теперь через новые значения Если как на рисунке 115, то мы имеем

откуда Аналогично, если как на рисунке 116, то

откуда Объединяя эти результаты, мы видим, что доказана

Теорема 5.91. Если расстояние между центрами двух непересекающихся окружностей с радиусами то инверсное расстояние между этими окружностями задается формулой

Рис. 116.

Интересное приложение этой теоремы можно получить при рассмотрении четырехугольника, все вершины которого лежат на одной окружности (радиуса а), а все стороны касаются другой окружности (радиуса ). Известно, что (обычное) расстояние между центрами таких окружностей удовлетворяет равенству

которое может быть выражено в виде

или

Так как

то отсюда следует, что инверсное расстояние между окружностями, которые имеются у вписанно-описанного четырехугольника, выражается через их радиусы с помощью простой формулы

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)