§ 2. Поворот

Другим видом преобразований, сохраняющих расстояния, является поворот. При этом вся плоскость поворачивается вокруг некоторой точки на заданный угол. Таким образом, размеры и форма любой фигуры остаются неизменными, а все ее точки движутся по дугам концентрических окружностей. Центр вращения (который может как принадлежать, так и не принадлежать вращаемой фигуре) является единственной неподвижной точкой.

В качестве примера использования поворота рассмотрим следующую ситуацию. Пусть дан треугольник (рис. 75) и пусть на его сторонах построены внешним образом равносторонние треугольники и Нарисовав прямые и пересекающиеся в точке мы замечаем, что поворот на 60° вокруг точки А переводит треугольник в треугольник Следовательно, Подобными рассуждениями показывается, что Таким образом,

Более того, так как

то четырехугольники и являются вписанными; и так как а то и четырехугольник также является вписанным. Поэтому окружности, описанные вокруг трех треугольников проходят через точку Она называется точкой Ферма треугольника Определив ее как точку пересечения прямых и мы теперь видим, что она должна также лежать и на прямой

Рис. 75.

В евклидовом доказательстве теоремы Пифагора квадраты построены внешним образом на сторонах данного прямоугольного треугольника при этом последний квадрат разбивается продолжением высоты на две части, как на рисунке 76. Точками обозначены центры этих квадратов, а связь точек с другими точками и линиями видна из рисунка. Хотя существуют более легкие способы доказать теорему Пифагора, доказательство Евклида интересно уже тем, что из рассматриваемого рисунка можно получить много неожиданных результатов.

Нарисовав прямые и мы видим, что поворот на 90° вокруг точки А переводит треугольник в треугольник Поэтому и

отрезок перпендикулярен отрезку Аналогично, отрезки и равны и перпендикулярны.

Рис. 76.

Из подобия треугольников и а также и вытекают следующие соотношения:

откуда

Упражнения

(см. скан)