§ 6. Перспективные треугольники; теорема Дезарга

Первые шаги в разработке геометрической теории перспективы были сделаны архитектором Филиппом Брунеллески (1377—1446), которому принадлежи

проект восьмиугольного купола собора во Флоренции, а также проект палаццо Питти. Более глубокое изучение этой теории было проведено другим архитектором Жераром Дезаргом (1591—1661), чья теорема «о двух треугольниках», как было обнаружено позже, столь же важна, как и теорема Паппа. Хотя она может быть выведена из теоремы Паппа, однако этот вывод насыщен сложными деталями, и намного легче вывести ее из теоремы Менелая.

Если две одинаковые конфигурации, составленные из точек и прямых, могут быть приведены в соответствие так, что пары соответствующих точек соединяются прямыми, пересекающимися в одной точке, то мы говорим, что эти две конфигурации перспективны относительно этой точки. Если соответствие таково, что пары соответствующих прямых пересекаются в точках, лежащих на одной прямой, то мы говорим, что эти две конфигурации перспективны относительно этой прямой.

Утверждение теоремы Дезарга о двух треугольниках, записанное в духе проективной геометрии, выглядит следующим образом: если два треугольника перспективны относительно точки, то они перспективны и относительно прямой. Однако, чтобы избежать сложностей, связанных с рассмотрением случаев параллельности прямых, мы удовлетворимся следующей ее перефразировкой:

Теорема 3.61. Если два треугольника перспективны относительно точки и если их пары Соответствующих сторон пересекаются, то эти три точки пересечения коллинеарны.

Вновь мы имеем теорему лишь о принадлежности точек прямым и пересечении прямых. Рисунки 61 и 62 являются двумя из многих способов нарисовать такой чертеж. Здесь треугольники и перспективны относительно точки О, а пары их соответствующих сторон пересекаются в точках (Некоторые примеры перспективных треугольников уже были рассмотрены в упражнении 2 § 3, где каждые два из трех

треугольников перспективны относительно точки.)

Рис. 61.

Рис. 62.

Для доказательства мы применим теорему 3.41 к тройкам точек

лежащих на сторонах трех треугольников

получив при этом

Перемножив эти три выражения и проделав умеренное число сокращений, получим

откуда следует, что точки коллинеарны, что и требовалось ([11], стр. 231 и [1] стр. 17).

Теорема Дезарга, как легко видеть, подразумевает существование обратной к ней: если два треугольника перспективны относительно прямой, то они перспективны относительно точки. Удовлетворимся следующей ее записью:

Теорема 3.62. Если два треугольника перспективны относительно прямой и если две пары соответствующих вершин соединяются пересекающимися прямыми, то эти треугольники перспективны относительно точки пересечения этих прямых.

Объявляя, что треугольники и перспективны относительно прямой, мы подразумеваем, что имеются три коллинеарные точки

как на рисунке 61. Если определить точку то утверждение теоремы можно переписать в следующем виде: точка О коллинеарна с точками Так как треугольники и перспективны относительно точки то мы можем к ним

применить теорему 3.61 и сделать вывод, что точки пересечения пар соответствующих сторон, а именно

коллинеарны, что и требовалось.

Это пример чисто «проективного» доказательства.

Упражнения

1. Если два треугольника перспективны относительно точки и две пары соответствующих сторон параллельны, то и две оставшиеся стороны параллельны. (В этом случае говорят, что два треугольника гомотетичны, как в упражнении 3 § 2 гл. 1.)

2. Сколько точек и прямых, обозначенных буквами, имеется на рисунке 61 (или Сколько таких прямых проходит через каждую из этих точек? Сколько таких точек лежит на каждой из прямых?

3. Назовите два треугольника, которые перспективны относительно а) точки б) точки в) точки

4. Что можно сказать о вершинах и сторонах двух пятиугольников и (см. рис. 61). Имеются ли на рисунке другие пятиугольники, обладающие теми же свойствами?

5. Две непараллельные прямые нарисованы на листе бумаги так, что их точка пересечения находится вне этого листа. Через точку находящуюся между этими прямыми на листе бумаги, йостройте прямую, которая проходила бы (при достаточном продолжении) через точку пересечения данных прямых. Что дало бы то же самое построение, если бы мы его применили к двум параллельным прямым?