§ 4. Еще раз о высотах и ортоцентре треугольника

Окружность, описанная вокруг треугольника, которая уже встречалась нам в предыдущей главе, заслуживает дальнейшего изучения.

Рис. 31.

На рисунке 31 показана окружность, описанная вокруг треугольника с центром в точке О, диаметром проходящим через точку А, и радиусом перпендикулярным стороне Мы также видим высоту Равенство углов в точках указывает нам на подобие треугольников и откуда

и

Вычитая из величины угла величины двух равных углов:

мы получаем:

Это выражение для угла равного углу было получено нами для того случая (изображенного на рисунке), когда Если бы мы взяли то угол стал бы пересечением двух равных углов и следовательно, его величина стала бы

равной Теперь мы можем объединит оба случая, записав

Рис. 32.

На рисунке 32 показаны три высоты продолженные до пересечения с описанной окружностью в точках Точка как всегда, — ортоцентр. Теперь причем оба угла являются дополнительными углами к углу В до прямого угла. Это объясняет использование нами одного и того же символа 6 для обозначения обоих углов. Также поэтому мы обозначили угол тем же символом. Из конгруэнтности прямоугольных треугольников и следует, что

Аналогично,

Так как окружность с диаметром проходит через точки то из теоремы 2.11 мы получаем, что Подобным же образом, Следовательно,

Если любые точки, взятые на сторонах соответственно, то окружности, построенные на чевианах и как на диаметрах, будут проходить через основания высот: точки соответственно. (Вторая и третья окружности изображены на рисунке 33.) Три равных выражения в соотношении (2.404) являются степенями точки относительно этих трех окружностей. Следовательно, есть радикальный центр этих окружностей. Таким образом, мы доказали две интересные теоремы, которые появились в разное время, как трудные задачи.

Теорема 2.41. Если окружности построены на двух чевианах как на диаметрах, то их радикальная ось проходит через ортоцентр этого треугольника.

Теорема 2.42. Для любых трех несоосны к окружностей, имеющих чевианы в качестве диаметров, точка их радикальный центр.

С другой стороны, же результаты могут быть получены с помощью следующих простых соображений. Если высота, опущенная из точки А, то пучок соосных окружностей, проходящих через точки может быть описан как совокупность окружностей, имеющих чевианы, проходящие через точку А, в качестве диаметров. Две из этих чевиан есть стороны и Таким образом, окружности, построенные на сторонах как на диаметрах и взятые попарно, имеют высоты в качестве своих радикальных осей и точку А в качестве своего радикального центра. (Таким образом, видно, что конкурентность высот является частным случаем теоремы 2.31.) Из этого следует, что точка имеет одну и ту же степень относительно всех окружностей, имеющих чевианы в качестве диаметров.

Рис. 33

Обратите внимание на слово «несоосный» в формулировке теоремы 2.42. Оно означает, что три рассматриваемые чевианы не все исходят из одной вершины треугольника . В следующей теореме мы увидим, что это понятие означает даже немного больше!

Из теоремы 2.42 можно вывести ряд любопытных задач (применив ее к чевианам если дополнительно ввести некоторые несущественные детали. Пусть вас не смущает тот факт, что хотя три чевианы треугольника, как правило, не имеют общей точки, мы будем рассматривать и случаи их конкурентности. Например, докажите, что для окружностей, построенных на медианах (или высотах, или

биссектрисах) как на диаметрах, их радикальный центр является ортоцентром этого треугольника.

Самый интересный случай для неконкурентных чевиан возникает тогда, когда точки лежащие на отрезках (или их продолжениях), оказываются коллинеарными, как на рисунке 34. Тогда мы можем с равным успехом утверждать, что точки -коллинеарные точки на сторонах треугольника и что точки коллинеарные точки на сторонах треугольника и что точки коллинеарные точки на сторонах треугольника

Рис. 34.

Следовательно, окружности, построенные на отрезках и как на диаметрах, расположены так, что их радикальные оси проходят через точку а также, по тем же соображениям, и через ортоцентры других трех треугольников. Так как эти четыре ортоцентра очевидно различны, то эти радикальные оси должны совпасть. Таким образом, нами доказана

Теорема 2.43. Если четыре прямые пересекаются в шести точках так, что образуются множества коллинеарных точек: то окружности, построенные на отрезках как на диаметрах, соосны, а ортоцентры четырех треугольников и коллинеарны.

Другое свойство треугольника и его высот проиллюстрировано на рисунке 8. Если мы внимательно рассмотрим этот рисунок, то мы придем к выводу, что по тем же причинам, по которым точка является ортоцентром треугольника точка А является ортоцентром треугольника точка В — ортоцентром треугольника а точка С — ортоцентром треугольника Рассмотренная здесь конфигурация называется ортоцентрическим четырехугольником и обладает рядом интересных свойств. Здесь мы рассмотрим только одно из них, а именно: если ортоцентрический четырехугольник, то для четырех треугольников, вершины которых являются вершинами этого четырехугольника, описанные вокруг них окружности имеют равные радиусы.

Простейшее доказательство этого свойства основано на уравнении (2.403) и рисунке 32. На рисунке треугольники и конгруэнтны, а потому окружности, описанные вокруг них, конгруэнтны. Следовательно, окружность, описанная вокруг треугольника (или конгруэнтна окружности, описанной вокруг треугольника Аналогично проводятся рассуждения и для остальных треугольников.

Упражнения

1. Точки, в которых высоты или их продолжения пересекают онисанную окружность, образуют треугольник, подобный ортоцентрическому.

2. Биссектрисы внутренних углов треугольника продолжаются до пересечения с описанной окружностью в точках соответственно. Выразите углы треугольника через углы треугольника