§ 3. Конические сечения

Здесь мы рассмотрим интересные кривые, называемые коническими сечениями, которые кратко упоминались в §§ 8 и 9 гл. 3. Эти кривые могут быть определены многими различными способами. Одним из них является определение конического сечения как образа окружности при полярном преобразовании. Более точно, пусть а — окружность с центром А и радиусом Рассмотрим полярное преобразование этой окружности относительно окружности с центром в точке О. Величина радиуса окружности к» не существенна, так как она влияет только на размер, а не на форму конического сечения. Форма определяется отношением

которое называется эксцентриситетом конического сечения. Точка О называется его фокусом.

Описывая коническое сечение как образ при полярном преобразовании окружности а, мы рассматриваем его в обоих аспектах: как множество полюсов прямых, касательных к окружности а, так и как оболочку из поляр точек, лежащих на окружности а. Если , т.е. точка О лежит внутри окружности а, то существует точка конического сечения на каждом луче, выходящем из точки О, и коническое сечение является овальной кривой, называемой эллипсом (рис. 122). В частности, эллипс с есть просто окружность. С увеличением эксцентриситета коническое сечение все больше и больше отличается от окружности.

Рис. 122.

Если т. е. и точка О лежит на окружности а, то множество точек окружности а содержит единственную точку, а именно, точку О, которая не имеет поляры (относительно окружности и), а множество касательных к окружности а содержит одну касательную, а именно, касающуюся окружности в точке О, которая не имеет полюса. Следовательно, коническое сечение, которое мы назовем параболой (рис. 123), простирается до бесконечности в направлении луча Коническое сечение называется гиперболой (рис. 124), если т. е. точка О лежит вне окружности а. Две касательные к окружности а, проходящие через точку О, не имеют полюсов, а поляры точек их касания с окружностью к» называются асимптотами этой гиперболы. Эти две прямые принадлежат оболочке и, таким

образом, являются касательными, которые не имеют точек касания! Если мы будем двигаться вдоль одной из них в любом направлении, то мы увидим, что кривая все больше и больше приближается к асимптоте, никогда ее не достигая.

Рис. 123.

Рис. 124.

Сэр Исаак Ньютон (1642—1727) объяснил замеченную Кеплером закономерность движения планет по эллиптическим орбитам с фокусом, находящимся на солнце. С тех пор были измерены эксцентриситеты для орбит различных планет и комет. Некоторые из них даются в следующей таблице:

(см. скан)

Упражнения

(см. скан)