§ 6. Теорема Фейербаха

В § 8 гл. 1 мы кратко упомянули теорему Фейербаха, доказательство которой может быть проведено с помощью инверсии по крайней мере тремя способами. Один из них изложен в книге Пидо ([31], стр. 9—10). Прежде чем изложить другой способ, вновь сформулируем теорему Фейербаха, а именно:

Рис. 110.

Теорема 5.61. Окружность девяти точек произвольного треугольника касается вписанной и всех трех вневписанных окружностей этого треугольника.

На рисунке 110 изображены треугольник его серединный треугольник окружность, вписанная в треугольник (с центром в точке касающаяся стороны в точке X, одна из вневписанных окружностей (с центром в точке касающаяся стороны в точке и общая касательная к этим двум окружностям (которые одновременно касаются всех трех сторон треугольника На этом рисунке также изображены окружность построенная на отрезке как на диаметре, и точки в которых отрезок пересекает отрезки

. Так как окружность со ортогональна к вписанной и к вневписанной окружностям, то при инверсии относительно окружности со обе эти окружности переходят в себя: Теперь мы переходим к доказательству того, что инверсия относительно окружности со переводит окружность девяти точек в прямую

Из теоремы 1.41 и последующих замечаний мы имеем

откуда следует, что центром окружности со является точка А — середина отрезка а длина диаметра окружности равна

(эту величину мы предполагаем положительной; в противном случае проведем те же построения по отношению к другой стороне, соответственно переименовав вершины Окружность девяти точек проходит через точку А — центр окружности следовательно, при инверсии относительно окружности со она переходит в прямую. Показав, что точки и являются образами при инверсии относительно окружности со точек лежащих на окружности девяти точек, мы получим, что эта прямая проходит через точки и (а поэтому и через точки

Так как точка (так же как и точки лежит на биссектрисе угла а по теореме 1.33 точка делит отрезок (длины а) в отношении то мы имеем

с и полуразность этих двух длин равна

Также аналогично, с.

Так как треугольник подобен треугольнику и треугольник подобен треугольнику то мы имеем

и

и

Таким образом, при инверсии относительно окружности радиус которой равен точка В переходит в точку а точка С — в точку что и требовалось.

Более того, инверсия относительно окружности со переводит вписанную окружность и рассмотренную вневписанную окружность в самих себя, а их общую касательную в окружность девяти точек. Следовательно, окружность девяти точек, как и прямая касается этих двух окружностей и, аналогично, касается двух оставшихся вневписанных окружностей.

В связи с этим, окружность девяти точек может быть определена с помощью точек которые являются точками пересечения пар противоположных сторон ортоцентрического четырехугольника (см. конец § 4 гл. 2). Другими словами, все четыре треугольника имеют одну и ту же окружность девяти точек. Однако каждый из этих треугольников имеет свое собственное множество четырех окружностей (вписанную и три вневписанные). Таким образом, ортоцентрический четырехугольник определяет множество из шестнадцати окружностей, касающихся окружности

Упражнения

(см. скан)