§ 3. Разворот

Один из случаев поворота, подобно параллельному переносу, обладает свойством переводить каждую прямую в параллельную ей прямую. Это разворот или поворот на 180°, который переводит каждый луч в противоположно ему направленный луч. Очевидно, что разворот полностью определяется заданием его центра. Так как параллельный перенос переводит каждый луч в параллельный ему луч, то результат двух последовательно выполненных разворотов является таким же, как и в случае параллельного переноса. Короче говоря, «сумма» двух разворотов есть параллельный перенос, который превращается в тождественное преобразование, если оба разворота имеют один и тот же центр.

Рис. 77.

Рис. 78.

Чтобы лучше понять действие этого преобразования, рассмотрим следующий пример: пусть точки к С лежат на прямой так, что точка В является серединой отрезка Рассмотрим разворот, оставляющий точку А неподвижной, и разворот относительно точки В, переводящий точку А в точку С. Сумма этих двух разворотов является параллельным переносом а также суммой разворотов вокруг точек

На рисунке 77 проиллюстрирована сумма разворотов вокруг точек Отрезок сначала переводится в отрезок (противоположно направленный), а затем в отрезок таким образом, их суммой является параллельный перенос

Многие старые и хорошо знакомые теоремы можно доказать гораздо проще, используя развороты. На рисунке 78 точка О одновременно является серединой

двух отрезков и Разворот вокруг точки О, переводящий отрезок отрезок показывает, что четырехугольник является параллелограммом. Рассмотрим рисунок 79, на котором точки середины отрезков и Мы видим, что сумма разворотов вокруг этих двух точек вновь является параллельным переносом откуда следует, что отрезок параллелен отрезку а его длина вдвое меньше длины отрезка

Рис. 79.

Упражнения

1. Пусть -общая точка двух пересекающихся окружностей. Постройте прямую, проходящую через точку а так, чтобы Высекаемые ею хорды имели одинаковую длину.

2. Через точку а, лежащую вне данной окружности, проведите прямую, пересекающую окружность в точках таких, что

3. Если противоположные стороны шестиугольника равны и параллельны, то диагонали (соединяющие противоположные вершины) конкурентны.