Глава 3. КОЛЛИНЕАРНОСТЬ И КОНКУРЕНТНОСТЬ

В этой главе мы рассмотрим ряд новых свойств треугольников и четырехугольников. Обсуждение этих свойств подведет нас вплотную к владениям проективной геометрии, и мы даже частично нарушим ее границы. К сожалению, систематическое изложение этой очаровательной теории мы вынуждены перепоручить другим книгам, но четыре из ее самых основных теорем мы сочли возможным поместить здесь, так как они могут быть доказаны методами, изложенными еще у Евклида. На самом деле три из них являются столь давними, что в ту пору еще не было других методов, пригодных для их доказательства. Все эти теоремы касаются либо - коллинеарности (принадлежности некоторого множества точек одной прямой), либо конкурентности (наличия у некоторого множества прямых общей точки). И вот тогда, когда мы обнаружим, что многие свойства параллельных прямых оказываются подобными свойствам конкурентных прямых, в наших рассуждениях начнет проявляться дух проективной геометрии.

§ 1. Четырехугольники; теорема Вариньона

Многоугольник может быть определен заданием некоторого числа точек (называемых вершинами) и равного ему количества отрезков (называемых сторонами), а именно, циклически упорядоченного множества точек на плоскости, причем такого, что никакие три последовательные точки не должны быть коллинеарными, и отрезков, соединяющих последовательные точки. Другими словами, многоугольник — это

замкнутая ломаная, лежащая на плоскости. Многоугольник, имеющий вершин и сторон, называется -угольником. Иногда употребляются греческие названия -угольников: Пентагон гексагон от греческого названия треугольника — «тригон» произошло название «тригонометрия»). Очевидно, что мы должны воздержаться от тенденции называть четырехугольник «четырехсторонником», поскольку в проективной геометрии под стороной понимают всю прямую, а не отрезок, и мы будем нуждаться в обоих терминах с различным значением.

Две стороны четырехугольника называются смежными, если они имеют общую вершину, в противном случае они называются противоположными.

Рис. 44.

Аналогично, две вершины называются смежными, если они принадлежат одной стороне и противоположными в противном случае. Прямые, соединяющие пары противоположных вершин, называются диагоналями. Таким образом, четырехугольник имеет стороны и диагонали и

На рисунке 44 мы видим четырехугольники трех явно различных типов: выпуклый четырехугольник, обе диагонали которого находятся внутри него, четырехугольник с входящим углом, имеющий одну диагональ внутри себя, а другую вне, и скрещенный четырехугольник, обе диагонали которого находятся снаружи. -

Мы, естественно, определяем площадь выпуклого четырехугольника как сумму площадей двух треугольников, на которые он разбивается диагональю:

Для того чтобы эта формула могла быть применена для четырехугольника с входящим углом, мы считаем площадь треугольника положительной или отрицательной в соответствии с тем, указаны ли вершины в порядке, обратном направлению движения часовой стрелки или по ее движению. Таким образом,

Например, четырехугольник с входящим углом, изображенный в центре рисунка 44, имеет площадь

Наконец, эта формула заставляет нас рассматривать площадь скрещенного четырехугольника как разность между площадями маленьких треугольников, из которых он составлен.

Если соединить идею направленных отрезков (§ 1 гл. 2) с соглашением то это дает нам возможность расширить наше доказательство теоремы Чевы и ей обратной (1.21 и 1.22) и на те случаи, когда некоторые из точек делят соответствующую сторону треугольника в отрицательном отношении, т. е. внешним образом.

Следующая теорема, принадлежащая Пьеру Вариньону (1654—1722), столь проста, что вызывает удивление ее публикация лишь только в 1731 году.

Теорема 3.11. Фигура, образованная путем следовательного соединения середин сторон четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади четырехугольника.

Напомним, что отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и имеет длину, равную половине длины этой стороны. Возьмем четырехугольник пусть серединами его сторон и будут точки и -как на рисунке 45. Рассматривая треугольники и мы заключаем, что отрезки и оба параллельны диагонали а их длины равны

Следовательно, четырехугольник параллелограмм;

его часто называют параллелограммом Вариньона четырехугольника

Что касается площади, то мы имеем

Читатель может при желании нарисовать четырехугольник с входящим углом и убедиться, что такое разложение справедливо и в этом случае.

Рис. 45.

Так как диагонали любого параллелограмма при пересечении делятся пополам, то середины отрезков и совпадают с центром параллелограмма Вариньона (т. е. с точкой О на рисунке 46). Теперь, подобно тому, как отрезки и являются диагоналями четырехугольника отрезки и являются диагоналями четырехугольника Так как отрезок имеет только одну середину, то параллелограмм Вариньона нового четырехугольника имеет тот же центр О. Следовательно, справедлива

Теорема 3.12. Отрезки, соединяющие середины пар противоположных сторон произвольного четырехугольника, и отрезок, соединяющий середины диагоналей,

конкурентны и делят друг друга пополам. (Это — первая наша теорема о конкурентности.)

Большую пользу нам принесет следующий результат:

Теорема 3.13. Если одна диагональ делит четырехугольник на два Треугольника равной площади, то она делит пополам другую диагональ.

Рис. 46.

И, наоборот, если одна диагональ делит пополам другую диагональ, то она делит пополам площадь этого четырехугольника.

Для того чтобы увидеть, почему это так, предположим, что отрезок делит четырехугольник на два треугольника и равной площади, как на рисунке 47. Так как эти треугольники имеют одно и то же основание то они имеют и равные высоты и Из конгруэнтности треугольников и мы выводим, что наоборот, если то эти треугольники конгруэнтны,

Рис. 4

Теперь мы в состоянии доказать заключительную теорему этого параграфа:

Теорема 3.14. Если противоположные стороны и четырехугольника пересекаются (при

продолжении) в точке а точки являются серединами диагоналей и

Сначала отметим середины отрезков и как на рисунке 48, и нарисуем отрезки Прямая соединяющая середины двух сторон треугольника параллельна отрезку и делит пополам «другую» диагональ четырехугольника

Рис. 48.

Следовательно, по «обратной» части теоремы 3.13

Подобным образом мы находим, что

Также, по теореме Вариньона, примененной к четырехугольнику

Складывая последние три выражения, мы получаем

Упражнения

(см. скан)