§ 6. Ортотреугольник

Можно многое узнать, исследуя рисунок 14, на котором изображены остроугольный треугольник центр О описанной вокруг него окружности, ортоцентр И и ортотреугольник Объясним, почему мы обозначили несколько углов на рисунке одним и тем же символом а, имеющим значение 90° — А. Во-первых, так как треугольник подобен треугольнику изображенному на рисунке 1, то Таким образом, величина каждого из углов при основании равнобедренного треугольника равна 90° — А. Из прямоугольных треугольников и мы получаем те же значения для углов и Равенство последних углов можно было бы увидеть из того факта, что четырехугольник является вписанным, так как углы и прямые. Аналогично, используя четырехугольники и мы находим, что

Рис. 14.

Таким образом, отрезок является биссектрисой угла

Из тех же соображений получаем, что отрезок делит пополам угол а отрезок угол Поэтому мы можем сформулировать следующий весьма интересный результат: высоты в треугольнике являются биссектрисами его ортотреугольника. Этот результат можно иначе записать в следующем виде:

Теорема 1.61. Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.

Мы уже отметили на рисунке 14, что . А так как отрезок перпендикулярен отрезку то и отрезок должен быть перпендикулярен отрезку Аналогично показывается перпендикулярность отрезков и а также и

Упражнения

(см. скан)