§ 3. Соосные окружности

Как мы видели, любые две неконцентрические окружности могут быть описаны уравнениями (2.215) и, следовательно, являются элементами бесконечного семейства, описываемого уравнением

где с — фиксировано, в то время как а меняется во всем интервале действительных значений (за

исключением интервала от до в случае положительного с). Это семейство называется пучком соосных окружностей, так как каждые две окружности из этого семейства имеют одну и ту же линию центров и одну и ту же радикальную ось. Если с отрицательно, то каждый элемент семейства пересекает ось у в одних и тех же двух точках и пучок состоит просто из всех окружностей, проходящих через эти две точки. Аналогично, если то пучок состоит из всех окружностей, которые касаются оси в начале координат. Случай, когда с положительно, проиллюстрирован на рисунке 30.

Рис. 30.

Пусть три окружности не являются соосными, и кроме того, никакие две не концентричны, тогда, рассмотрев их попарно, мы сможем найти три радикальные оси. Любая точка, которая имеет одну и ту же степень относительно всех трех окружностей, должна лежать на всех этих трех прямых. Наоборот, любая точка пересечения двух из трех радикальных осей, имеющая одну и ту же степень относительно всех трех окружностей, должна также лежать и на третьей прямой. Если две из этих осей параллельны, то и все три должны быть параллельны. В частности,

Теорема 2.31. Если центры трех окружностей образуют треугольник, то существует только одна точка, степени которой относительно этих трех окружностей равны.

Эта общая точка трех радикальных осей называется радикальным центром трех окружностей.

Упражнения

1. Две окружности касаются внутренним образом в точке Пусть хорда большей окружности касается меньшей окружности в точке Тогда прямая делит угол пополам.

2. Если О — радикальный центр трех окружностей, каждая из которых лежит вне других, то точки касания шести касательных, проведенных из точки О, лежат все на одной окружности.